相対的な可能性

統計学では、特定のデータに対して統計モデルを選択するときに、相対尤度によって、異なる候補モデルの相対的な妥当性、または単一モデルの パラメータの異なる値の妥当性を比較します。

パラメータθを持つ統計モデルを持つデータxが与えられていると仮定します。θの最大尤度推定値は であるとします。他のθ値の相対的な尤度は、それらの他の値の尤度を の尤度と比較することによって見つけることができます。θの相対的な尤度は次のように定義されます^{[1] [2] [3] [4] [5]}${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}},}$

ここで、 は尤度関数を表します。したがって、相対尤度は分母を固定した尤度比です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid x)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}$

機能

${\displaystyle \theta \mapsto {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}}}$

相対尤度関数です。

尤度領域とは、相対尤度が所定の閾値以上であるθのすべての値の集合である。パーセンテージで表すと、 θのp %尤度領域は次のように定義される。^{[1] [3] [6]}

${\displaystyle \left\{\theta :{\frac {{\mathcal {L}}(\theta \mid x)}{{\mathcal {L}}({\hat {\theta \,}}\mid x)}}\geq {\frac {p}{100}}\right\}.}$

θが単一の実パラメータである場合、 p %尤度領域は通常、実数値の区間で構成されます。領域が区間で構成されている場合は、尤度区間と呼ばれます。^{[1] [3] [7]}

尤度区間、およびより一般的には尤度領域は、尤度ベースの統計 (「尤度主義」統計) 内の区間推定に使用されます。尤度区間は、頻度主義統計の信頼区間やベイズ統計の信用区間に似ています。尤度区間は、カバレッジ確率(頻度主義) や事後確率(ベイズ主義) ではなく、相対尤度で直接解釈されます。

モデルが与えられれば、尤度区間は信頼区間と比較することができます。θが単一の実数パラメータである場合、特定の条件下では、θの 14.65% 尤度区間 (約 1:7 の尤度)は、95% 信頼区間 (19/20 のカバレッジ確率) と同じになります。^{[1] [6]}対数尤度の使用に適したわずかに異なる定式化 (ウィルクスの定理を参照) では、検定統計量は対数尤度の差の 2 倍であり、検定統計量の確率分布は、自由度 (df) が 2 つのモデル間の df-s の差に等しいカイ 2 乗分布に近似します (したがって、 e ⁻²尤度区間は、df-s の差が 1 であると仮定すると、0.954 信頼区間と同じです)。^{[6] [7]}

相対尤度の定義は、異なる統計モデルを比較するために一般化できます。この一般化は、AIC (赤池情報量基準) またはAICc (補正付き赤池情報量基準) に基づいています。

あるデータに対して、2つの統計モデルM1とM2があるとします。また、_AIC ( _M1 ) ≤AIC ( M2)とします。M1に対するM2の_相対尤度は_{次のように定義さ}れます。[ ^8]

${\displaystyle \exp \left({\frac {\operatorname {AIC} (M_{1})-\operatorname {AIC} (M_{2})}{2}}\right)}$

これが以前の定義の一般化であることを確認するために、（おそらく多変量の）パラメータθを持つモデルM があると仮定します。次に、任意のθに対して、M ₂ = M ( θ )に設定し、M ₁ = M ( )に設定します。一般的な定義では、以前の定義と同じ結果が得られます。 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

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