確率分布の畳み込み

確率分布の畳み込み/和は、確率論と統計学において、確率分布に関する演算として現れ、独立した ランダム変数の加算、さらにはランダム変数の線形結合の形成に相当します。ここでの演算は、確率分布のコンテキストにおける 畳み込みの特殊なケースです。

2 つ以上の独立したランダム変数の合計の確率分布は、それぞれの分布の畳み込みです。この用語は、独立したランダム変数の合計の確率質量関数または確率密度関数が、それぞれ対応する確率質量関数または確率密度関数の畳み込みであるという事実に由来しています。よく知られている分布の多くは単純な畳み込みです。確率分布の畳み込みの一覧を参照してください。

2つの独立した整数値（したがって離散的）確率変数の和の分布の一般的な公式は^{[1]である。}${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle P(Z=z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }P(X=k)P(Y=zk)}$

それぞれ確率密度関数(PDF)と累積分布関数(CDF)を持つ独立した連続ランダム変数の場合、合計の CDF は次のようになります。 ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle F,G}$

${\displaystyle H(z)=\int _{-\infty }^{\infty }F(zt)g(t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }G(t)f(zt)dt}$

ランダム変数 と があり、によって関連付けられており、それらの独立性に関する情報がない場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{XY}(x,zx)~dx}$

ただし、とが独立である場合は、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

この式は確率分布の畳み込みになります。

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)~f_{Y}(zx)~dx}$

確率分布の畳み込みの公式を導く方法はいくつかあります。多くの場合、何らかの生成関数を使用することで積分の操作を回避できます。このような方法は、分布自体の明示的な公式を導くことができない場合でも、結果として得られる分布のモーメントなどの特性を導くのに役立ちます。

最も簡単な方法の 1 つは、常に存在し、特定の分布に固有の特性関数を使用することです。 ^{[引用が必要]}

2つの独立した同一分布のベルヌーイ確率変数の畳み込みは二項確率変数である。つまり、簡略表記では、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\mathrm {ベルヌーイ} (p)\sim \mathrm {二項} (2,p)}$

これを示すために

${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {ベルヌーイ} (p),\quad 0<p<1,\quad 1\leq i\leq 2}$

定義する

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{2}X_{i}}$

また、Z は一般的な二項確率変数を表すものとします。

${\displaystyle Z\sim \mathrm {二項} (2,p)\,\!}$

独立しているので、 ${\displaystyle X_{1}{\text{ と }}X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} [Y=n]&=\mathbb {P} \left[\sum _{i=1}^{2}X_{i}=n\right]\\&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\mathbb {P} [X_{1}=m]\times \mathbb {P} [X_{2}=nm]\\&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\left[{\binom {1}{m}}p^{m}\left(1-p\right)^{1-m}\right]\left[{\binom {1}{nm}}p^{nm}\left(1-p\right)^{1-n+m}\right]\\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\binom {1}{m}}{\binom {1}{nm}}\\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\left[{\binom {1}{0}}{\binom {1}{n}}+{\binom {1}{1}}{\binom {1}{n-1}}\right]\\&={\binom {2}{n}}p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}=\mathbb {P} [Z=n]\end{aligned}}}$

ここでは、最後から 2 番目の等式では k > n という事実を使用し、最後から2番目の等式では パスカルの定理を使用しました。${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$

それぞれの特性関数との特性関数は ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \varphi _{X_{k}}(t)=1-p+pe^{it}\qquad \varphi _{Z}(t)=\left(1-p+pe^{it}\右)^{2}}$

ここで、t はゼロの近傍内にあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Y}(t)&=\operatorname {E} \left(e^{it\sum _{k=1}^{2}X_{k}}\right)=\operatorname {E} \left(\prod _{k=1}^{2}e^{itX_{k}}\right)\\&=\prod _{k=1}^{2}\operatorname {E} \left(e^{itX_{k}}\right)=\prod _{k=1}^{2}\left(1-p+pe^{it}\right)\\&=\left(1-p+pe^{it}\right)^{2}=\varphi _{Z}(t)\end{aligned}}}$

それぞれが独立しているので、積の期待値は期待値の積です。と は同じ特性関数を持っているので、それらは同じ分布を持っているはずです。 ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

• 確率分布の畳み込みの一覧

• Hogg, Robert V. ; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2004). 数理統計学入門 (第 6 版). アッパーサドルリバー、ニュージャージー: Prentice Hall. p. 692. ISBN 978-0-13-008507-8. MR  0467974。