プレウェルオーダー

集合論において、集合上の前整列とは${\displaystyle X}$予約注文${\displaystyle \leq }$の上${\displaystyle X}$（推移的かつ反射的な関係${\displaystyle X}$）は強く結びついており（つまり、どの2点も比較可能である）、誘導された関係が${\displaystyle x<y}$定義される${\displaystyle x\leq y{\text{ かつ }}y\nleq x}$これは十分に根拠のある関係です。

集合上の前置順序${\displaystyle X}$同質な二項関係${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle X}$以下の条件を満たすもの: ^{[ 1 ]}

1. 反省性：${\displaystyle x\leq x}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$
2. 推移性: もし${\displaystyle x<y}$そして${\displaystyle y<z}$それから${\displaystyle x<z}$すべての人々のために${\displaystyle x,y,z\in X.}$
3. 合計/強く関連している:${\displaystyle x\leq y}$または${\displaystyle y\leq x}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X.}$
4. 空でないすべての部分集合に対して${\displaystyle S\subseteq X,}$いくつか存在する${\displaystyle m\in S}$そのため${\displaystyle m\leq s}$すべての人々のために${\displaystyle s\in S.}$
   • この条件は誘導された厳密な先行順序と同等である${\displaystyle x<y}$定義される${\displaystyle x\leq y}$そして${\displaystyle y\nleq x}$十分に根拠のある関係である。

同質な二項関係${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle X}$は全射が存在する場合に限り前順列である。${\displaystyle \pi :X\to Y}$整然としたセットに${\displaystyle (Y,\lesssim )}$すべての${\displaystyle x,y\in X,}$${\textstyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle \pi (x)\lesssim \pi (y).}$^{[ 1 ]}

例

集合が与えられた${\displaystyle A,}$集合上の二項関係${\displaystyle X:=\operatorname {有限} (A)}$すべての有限部分集合の${\displaystyle A}$定義される${\displaystyle S\leq T}$かつその場合に限り${\displaystyle |S|\leq |T|}$（どこ${\displaystyle |\cdot |}$は集合の濃度を表す) は前整列である。^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$ある集合の部分集合の点クラスである$\displaystyle {\mathcal {F}}}$ポーランドの空間の、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$カルテシアン積の下で閉じられ、${\displaystyle \leq }$ある部分集合のプレウェル順序付けである${\displaystyle P}$ある要素の${\displaystyle X}$の${\displaystyle {\mathcal {F}},}$それから${\displaystyle \leq }$と言われている${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$-事前準備${\displaystyle P}$関係が${\displaystyle <^{*}}$そして${\displaystyle \leq ^{*}}$要素${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$どこで${\displaystyle x,y\in X,}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y{\text{ は、}}x\in P\land (y\notin P\lor (x\leq y\land y\not \leq x)) の場合に限る}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y{\text{ は、}}x\in P\land (y\notin P\lor x\leq y) の場合に限る}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$は、すべての集合が前順列性を持つと言われます。${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$認める${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}}$-事前発注。

事前順序付け特性は、より強力なスケール特性と関連しています。実際には、事前順序付け特性を持つ多くの点クラスはスケール特性も持ち、それによってより強力な結論を導き出すことができます。

• 記述集合論― 数理論理学の一分野 
• 次数付き半順序集合– ランク関数を備えた半順序集合– 次数付き半順序集合は、ノルム付きの前順列に類似しており、順序数への写像を自然数への写像に置き換えたものである。 
• スケール特性