順序指数体

数学において、順序付き指数体とは、実数の順序付き体上の指数関数の考え方を一般化する関数を伴う 順序付き体です。

順序体上の指数関数は、の加法群の の正の元の乗法群上への厳密に増加な同型です。 順序体と追加の関数を合わせたものは、順序指数体と呼ばれます。 ${\textstyle E}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\displaystyle K\,}$${\displaystyle E\,}$

• 順序付き指数体の標​​準的な例は、実数Rの順序付き体で、 の形式の関数を持つものである。ここで、は 1 より大きい実数である。そのような関数の 1 つが通常の指数関数で、E ( x ) = e ^xである。この関数を備えた順序付き体R は、 R _expで表される順序付き実指数体を与える。 1990 年代に、R _{exp が}モデル完全であることが証明され、これはWilkie の定理として知られる結果である。この結果は、パフィアン関数に関する Khovanskiĭ の定理と組み合わせると、R _expがo 極小であることも証明される。^[1] Alfred Tarski は、 R _expの決定可能性の問題を提起したため、現在ではTarski の指数関数問題として知られている。 Schanuel の予想の実数版が真であれば、R _expは決定可能であることが知られている。^[2]${\textstyle a^{x}}$${\textstyle a}$
• 超実数 の順序体は、指数関数 exp をRに拡張する指数体を許容します。はアルキメデスの性質を持たないため、これは非アルキメデス順序指数体の例です。${\textstyle \mathbf {いいえ} }$${\textstyle \mathbf {いいえ} }$
• 対数指数トランスシリーズ の順序体は、標準指数を許容するような方法で具体的に構築されます。${\textstyle \mathbb {T} ^{LE}}$

形式的指数体（または指数閉体）は、指数 を備えることができる順序付き体である。任意の形式的指数体に対して、ある自然数 に対して となるような 指数を選ぶことができる。^[3]${\textstyle E}$${\textstyle K}$${\textstyle E}$${\textstyle K}$${\textstyle 1+1/n<E(1)<n}$${\textstyle n}$

• すべての順序付き指数体は根が閉じています。つまり、 のすべての正の元は、すべての正の整数に対して 乗根を持ちます(言い換えると、 の正の元の乗法群はを割り切れます) 。これは、すべての に対して であるためです。${\textstyle K}$${\displaystyle K\,}$${\textstyle n}$${\textstyle n}$${\displaystyle K\,}$${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$${\textstyle a>0}$
• したがって、すべての順序付き指数体はユークリッド体です。
• したがって、すべての順序付き指数体は順序付きピタゴラス体です。
• すべての実閉体が形式的に指数体であるわけではない。例えば、実代数体は指数体を許容しない。これは、実数の形式的に指数的な部分体すべてにおいて、指数体はの形でなければならないからである。しかし、ゲルフォン・シュナイダーの定理により が代数的である場合、 は代数的ではない。${\textstyle E}$${\displaystyle E(x)=a^{x}\,}$${\textstyle 1<a\in K}$${\textstyle K}$${\displaystyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$${\textstyle 1<a}$
• その結果、実数体と実代数体は基本的に同値な構造であるため、形式的指数体のクラスは基本クラスではありません。
• 形式指数体のクラスは擬似基本クラスです。これは、体 が指数的に閉じている場合と、 およびとなるような全射関数が存在する場合に限り、また のこれらの性質が公理化可能である場合に当てはまります。${\displaystyle K\,}$${\textstyle E_{2}\colon K\rightarrow K^{+}}$${\textstyle E_{2}(x+y)=E_{2}(x)E_{2}(y)}$${\textstyle E_{2}(1)=2}$${\textstyle E_{2}}$

• 指数体

• Alling, Norman L. (1962). 「指数関数的に閉じた体について」.アメリカ数学会紀要. 13 (5): 706–711. doi : 10.2307/2034159 . JSTOR  2034159. Zbl  0136.32201.
• クールマン、サルマ (2000)、「順序付き指数体」、フィールズ研究所モノグラフ、第 12 巻、アメリカ数学会、doi : 10.1090/fim/012、ISBN 0-8218-0943-1、MR  1760173