無差別曲線

消費者理論では、無差別曲線と予算制約を用いて消費者需要曲線を生成します。 一人の消費者にとって、これは比較的単純なプロセスです。 まず、一方の財を例としてニンジン市場を考え、もう一方を他のすべての財の複合体とします。予算制約は、無差別マップ上に、2つの財間のすべての可能な分配を示す直線を与えます。 効用が最大となる点は、無差別曲線が予算線に接する点です（図参照）。 これは常識から導き出されます。市場が家計よりも財を高く評価する場合、家計はそれを売ります。市場が家計よりも財を低く評価する場合、家計はそれを買います。 その後、市場と家計の限界代替率が等しくなるまでプロセスが続きます。^{[ 11 ]}ここで、ニンジンの価格が変化し、他のすべての財の価格が一定のままである場合、予算線の傾きも変化し、接点と需要量が変わります。これらの価格/数量の組み合わせは、完全な需要曲線を導き出すために使用できます。^{[ 11 ]}正確に言うと、2 つの財間のさまざまな価格比率を代表する一連の無差別曲線を使用して、財-財ベクトル空間での価格消費曲線が生成されます。これは、財-価格ベクトル空間での需要曲線に相当します。予算制約が変化するにつれて、無差別曲線と予算制約の間のすべての接点を結ぶ線は拡張パスと呼ばれ、^{[ 12 ]}需要のシフトと相関します。いずれかの財の価格が変化するにつれて、無差別曲線と予算制約の間のすべての接点を結ぶ線は価格消費曲線であり、需要曲線に沿った動きと相関します。

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  図1：3つの無差別曲線が示された無差別マップの例
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  図2：財Xと財Yが完全代替財である場合の3つの無差別曲線。すべての曲線に垂直な灰色の線は、これらの曲線が互いに平行であることを示している。
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  図3：完全補完財XとYの無差別曲線。曲線の屈曲点は同一直線上にある。灰色の線は、一連のレオンチェフ効用曲線の所得消費曲線（消費者理論における拡張経路に相当）を示している。

_{図1では、消費者はI2}よりもI3上にいること_を好み、I1よりもI2上にいることを好みます_が、与えられた無差別曲線上のどこにいるか_は気にしません。無差別曲線の傾き（絶対値）は、経済学者によって限界代替率として知られており、消費者が一方の財をより多く得るために他方の財をどれだけ手放す意思があるかを示します。ほとんどの財において限界代替率は一定ではないため、無差別曲線は曲線を描きます。これらの曲線は原点に対して凸であり、負の代替効果を表しています。一定の所得に対して価格が上昇すると、消費者はより低い無差別曲線上のより安価な代替品を求めます。この代替効果は、実質所得の低下による所得効果によって強化されます（Beattie-LaFrance）。このような無差別曲線を生成する効用関数の例として、コブ・ダグラス関数が挙げられます。${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$無差別曲線の負の傾きは、消費者がトレードオフを行う意思を反映している。^{[ 10 ]}

2つの財が完全代替財である場合、消費者は一定の比率で財を切り替える意思があるため、無差別曲線は一定の傾きを持つ。完全代替財間の限界代替率も同様に一定である。このような無差別曲線に関連付けられる効用関数の例としては、${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$。

2つの財が完全補完財である場合、無差別曲線はL字型になります。完全補完財の例としては、左足の靴と右足の靴が挙げられます。消費者は左足の靴を1足しか持っていない場合、右足の靴を複数持っていても何のメリットもありません。つまり、左足の靴が増えない限り、右足の靴を追加しても限界効用はゼロになります。したがって、右足の靴の数だけが異なる財の組み合わせは、いくつあっても同じように好まれます。限界代替率はゼロか無限大です。上記のような無差別曲線を持つ効用関数の例として、レオンチェフ関数が挙げられます。${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$。

消費者理論における需要分析が示すように、曲線の形状の違いは価格変化に対する反応の違いを示唆している。ここではその結果のみを述べる。消費者を同じ無差別曲線上の均衡状態に維持する価格予算線の変化：

図1では、その財の価格が相対的に上昇するにつれて、その財の需要量は徐々に減少するだろう。

図2では、予算制約の一方の端ではどちらの財の需要量にも影響がないか、予算制約の一方の端からもう一方の端へ需要量が変化するかのいずれかになります。

図3では、予算線が無差別曲線の角を回り込むため、均衡需要量には影響がない。^{[注2 ]}

させて

${\displaystyle A\;}$消費者が選択できる、相互に排他的な選択肢の集合である。

${\displaystyle a\;}$そして${\displaystyle b\;}$一般的な要素である${\displaystyle A\;}$。

上記の例の言語では、セット${\displaystyle A\;}$リンゴとバナナの組み合わせでできています。${\displaystyle a\;}$リンゴ1個とバナナ4本など、そのような組み合わせの1つです。${\displaystyle b\;}$例えば、リンゴ2個とバナナ2本といった組み合わせもあります。

選好関係は、${\displaystyle \succeq }$は、集合上で定義される二項関係である。${\displaystyle A\;}$。

声明

${\displaystyle a\succeq b\;}$

「${\displaystyle a\;}$は、${\displaystyle b\;}$つまり、${\displaystyle a\;}$少なくとも同等に良い${\displaystyle b\;}$（嗜好満足度において）

声明

${\displaystyle a\sim b\;}$

「${\displaystyle a\;}$は、${\displaystyle b\;}$、 そして${\displaystyle b\;}$は、${\displaystyle a\;}$つまり、選択に対して無関心である${\displaystyle a\;}$または${\displaystyle b\;}$つまり、それらが望ましくないという意味ではなく、好みを満たす上で同等に優れているという意味である。

声明

${\displaystyle a\succ b\;}$

「${\displaystyle a\;}$は、${\displaystyle b\;}$、 しかし${\displaystyle b\;}$は弱く好まれない${\displaystyle a\;}$.' とある人は言う。${\displaystyle a\;}$は、${\displaystyle b\;}$.'

選好関係${\displaystyle \succeq }$すべてのペアが揃っていれば完了です${\displaystyle a,b\;}$順位付けできる。関係は、次の場合に推移的関係である。${\displaystyle a\succeq b\;}$そして${\displaystyle b\succeq c,\;}$それから${\displaystyle a\succeq c\;}$。

任意の要素について${\displaystyle a\in A\;}$対応する無差別曲線、$\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$すべての要素で構成されています${\displaystyle A\;}$に無関心な${\displaystyle a}$正式には、

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$。

上記の例では、要素${\displaystyle a\;}$セットの${\displaystyle A\;}$は2つの数字で構成されています。リンゴの数を、${\displaystyle x,\;}$そしてバナナの数を、${\displaystyle y.\;}$

効用理論において、エージェントの効用関数は、消費財のあらゆるペアを選好の順序（完全性）でランク付けする関数であり、3つ以上の消費財の任意のセットが推移関係を形成する。これは、各消費財について、${\displaystyle \left(x,y\right)}$独特な関係性があり、${\displaystyle U\left(x,y\right)}$は、効用（満足度）関係を表し、${\displaystyle \left(x,y\right)}$関係${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$これは効用関数と呼ばれます。この関数の値域は実数の集合です。関数の実際の値は重要ではありません。理論上意味を持つのは、これらの値の順位付けだけです。より正確には、${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$バンドル${\displaystyle \left(x,y\right)}$バンドルと同等以上の価値があると説明されている${\displaystyle \left(x',y'\right)}$。 もし${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$バンドル${\displaystyle \left(x,y\right)}$束よりも厳密に好ましいと説明されている${\displaystyle \left(x',y'\right)}$。

特定の束について考えてみましょう${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$そして、全微分をとる${\displaystyle U\left(x,y\right)}$この点について：

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

あるいは、一般性を失うことなく、

$\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$（式１）

どこ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$は、${\displaystyle U\left(x,y\right)}$最初の引数に関して、${\displaystyle \left(x,y\right)}$（同様に${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$）

無差別曲線${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$曲線上の各バンドルにおいて、バンドルと同じ効用レベルを提供する必要がある${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$つまり、選好が効用関数で表される場合、無差別曲線は効用関数の等高線になります。したがって、${\displaystyle x\,}$による${\displaystyle dx\,}$無差別曲線から外れることなく、量も変更する必要がある${\displaystyle y\,}$金額によって${\displaystyle dy\,}$つまり、最終的にUに変化がないということである。

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$または、上記の式(1)に0を代入してdy/dxを求める：

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$。

したがって、限界効用の比率は、無差別曲線の点における傾きの絶対値を与える。${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$この比率は、${\displaystyle x\,}$そして${\displaystyle y\,}$。