カイラルポッツモデル

カイラルポッツ モデルは、統計力学における平面格子上のスピン モデルであり、ヘレン オーヤン パークやジャック パークらによって研究されています。これはポッツ モデルの一般化と見なすことができ、ポッツ モデルと同様に、モデルはグラフの各頂点へのスピンの割り当てである構成によって定義されます。各スピンは のいずれかの値を取ることができます。スピンおよび が割り当てられた頂点を接続する各辺には、ボルツマン重みが割り当てられます。このモデルでは、カイラルとは を意味します。重みがヤン–バクスター方程式 を満たす場合、特定の量を正確に評価できるという意味で、 このモデルは積分可能です。${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle W(n,n')}$${\displaystyle W(n,n')\neq W(n',n)}$

積分可能なカイラル・ポッツ模型では、重みは高種数の 曲線、すなわちカイラル・ポッツ曲線によって定義される。^{[1] [2]} 他の可解なモデル^{[3] [4]では重みは種数が1以下の曲線によってパラメータ化されるため、三角関数、種数が0の場合は有理関数、種数が1の場合は}シータ関数で表現できるが、このモデルでは高種数のシータ関数が使用され、その理論はあまり十分には発達していない。

1980年代にデイヴィッド・ヒューズとステラン・オストルンドが独立に導入した 関連するカイラル時計モデルは、カイラル・ポッツモデルとは対照的に、正確には解くことができません。

このモデルは、これまで知られているモデルとは一線を画しており、150年にわたって解決が困難だった代数幾何学の最も難問に関連する多くの未解決問題を提起している。カイラルポッツモデルは、整合-不整合相転移を理解するために使用されている。 ^[5] N = 3および4の場合、積分可能なケースは1986年にストーニーブルックで発見され、翌年に発表された。^{[1] [6]}

重み関数のフーリエ変換が同じ関数を返す場合、モデルは自己双対と呼ばれます。特殊な（種数 1）ケースは、1982 年に Fateev とZamolodchikovによって解決されました。^[7] Alcaraz と Santos の研究の特定の制限を取り除くことによって、^[8]積分可能なカイラル Potts モデルのより一般的な自己双対ケースが発見されました。^[1]重みは積分形式^{[9] [10]}で与えられ、重みのパラメーターはフェルマー曲線上にあり、種数が 1 より大きいことが示されています。

すべてのk （温度変数）に対する一般解が見つかった。^[2]重みも積の形で与えられ、それらが星型三角形の関係を満たすことが計算的に（Fortranで）テストされた。証明は後に発表された。^[11]

シリーズ^{[5] [12]}から、秩序パラメータは単純な形を持つことが 予想されました^{[13] 。} この予想を証明するのに何年もかかりました。これは、高種数曲線のため、通常のコーナー転送行列技術を使用できなかったためです。この予想は、ヤン-バクスター可積分モデルの分野で一般的に使用されるタイプの2つの穏やかな解析条件を仮定して、関数方程式とJimboらの「破断ラピディティ線」技術^{[ 16]}を使用して、2005年にバクスターによって証明されました 。最近では、一連の論文^{[17] [18] [19] [ 20] [21] [22] [23]}で、秩序パラメータを取得する 代数的（イジングのような）方法が示され、代数構造へのより深い洞察が得られました。 $${\displaystyle \langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(N-n)/2N^{2}.}$$

1990年にバザノフとストロガノフ^[24]は、ヤン・バクスター方程式を満たすL演算子（ラックス演算子）が存在することを示した。

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.}$

ここで、2 × 2 R演算子 ( R 行列) は、6 頂点モデル R行列 (頂点モデルを参照) です。4 つのカイラル ポッツ重みSの積は、 2 つのL演算子を次のように 絡み合わせることが示されました。

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.}$

これにより画期的な進歩がもたらされ、カイラルポッツ模型の転送行列の関数関係が発見されました。 ^[25]

これらの関数関係を用いて、バクスターはカイラルポッツモデルの伝達​​行列の固有値を計算し、^[26]比熱の臨界指数α=1-2/Nを得た。これは文献12でも推測されていた。界面張力も指数μ=1/2+1/Nで計算された。^{[27] [28]}

積分可能なカイラルポッツ重みは積分形式^[2]で次のように 与えられる。

${\displaystyle W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},}$

ここで、は原始根であり、各ラピディティ変数pに次の条件を満たす 3つの変数を関連付けます。${\displaystyle \omega ^{N}=1}$${\displaystyle (x_{p},y_{p},\mu _{p})}$

${\displaystyle x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.}$

それは簡単にわかる

${\displaystyle W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}}$

これはライデマイスター移動Iに似ている。また、重みは反転関係を満たすことも知られている。

${\displaystyle W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.}$

これはライデマイスター移動IIに相当する。星型三角形の関係

${\displaystyle \sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)}$

はライデマイスター移動IIIに相当する。これらは以下の図に示されている。 ^[29]

• ZNモデル