のこぎり波

のこぎり波
帯域制限された鋸歯状波[ 1]を時間領域（上）と周波数領域（下）で示したもの。基本波は220Hz（A3）である。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=2\left(t-\left\lfloor t+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor \right),t-{\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }$
応用分野	エレクトロニクス、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{n-{\tfrac {1}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
コドメイン	${\displaystyle \left(-1,1\right)}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
具体的な特徴
根	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)=-{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{k}}\sin \left(2\pi kt\right)}$

のこぎり波

220 Hzの鋸歯状波5秒

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鋸歯状波（のこぎりじょうは）は、非正弦波形の一種です。鋸歯状波は、傾斜角がゼロの鋸歯に似ていることから、この名前が付けられました。単一の鋸歯状波、または断続的に発生する鋸歯状波は、ランプ波形と呼ばれます。

鋸歯状波は上昇し、その後急激に下降するのが通例です。逆鋸歯状波（逆鋸歯状波とも呼ばれます）では、波は下降し、その後急激に上昇します。これは非対称三角波の極端な例とも考えられます。^[2]

時間tの床関数 に基づく同等の区分線形関数は、 周期1ののこぎり波の例です。 $${\displaystyle x(t)=t-\lfloor t\rfloor }$$ $${\displaystyle x(t)=t{\bmod {1}}}$$

より一般的な形式は、範囲が−1から1で周期がpの場合、 $${\displaystyle 2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)}$$

こののこぎり波関数は正弦波関数と同じ位相を持ちます。

矩形波は奇数次高調波のみで構成されているのに対し、のこぎり波の音は耳障りでクリアで、そのスペクトルには基本周波数の偶数次高調波と奇数次高調波の両方が含まれています。すべての整数次高調波が含まれているため、特にバイオリンやチェロなどの擦弦楽器の音の減算合成に最適な波形の1つです。これは、弓のスリップスティック動作が弦を鋸歯状の動きで駆動するためです。^[3]

加法鋸歯状波デモ

正弦波に毎秒追加される高調波によって生成される 220 Hz のノコギリ波。

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鋸歯状波は加法合成法を使って作ることができます。周期pと振幅aの場合、次の無限フーリエ級数は鋸歯状波と逆鋸歯状波に収束します。

$${\displaystyle f={\frac {1}{p}}}$$ $${\displaystyle x_{\text{sawtooth}}(t)=a\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}\right)}$$ $${\displaystyle x_{\text{逆鋸歯状波}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$$

デジタル合成では、これらの級数はkについてのみ合計され、最高高調波N _{max は}ナイキスト周波数(サンプリング周波数 の半分)より小さくなります。この合計は一般に高速フーリエ変換を使用するとより効率的に計算できます。波形がy  =  x  −  floor ( x )などの帯域制限のない形式を使用して時間領域で直接デジタル的に作成される場合、無限の高調波がサンプリングされ、結果として得られる音にはエイリアシング歪みが含まれます。

440 Hz (A ₄ )、880 Hz (A ₅ )、1,760 Hz (A ₆ )で再生されたノコギリ波のオーディオ デモを以下でご覧いただけます。帯域制限された (エイリアスのない) トーンとエイリアスのあるトーンの両方が提示されています。

鋸歯状エイリアシングのデモ

鋸歯状波は帯域制限され、440 Hz、880 Hz、1,760 Hz でエイリアシングされて再生されます。

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• ノコギリ波は電子音楽で使用されていることで知られています。ノコギリ波と矩形波は、減算型アナログおよび仮想アナログ音楽シンセサイザーでサウンドを作成するために使用される最も一般的な波形の 1 つです。
• 鋸歯波はスイッチング電源で使用されます。レギュレータ チップでは、出力からのフィードバック信号が高周波鋸歯波と継続的に比較され、コンパレータの出力に新しいデューティ サイクル PWM 信号が生成されます。
• コンピュータサイエンスの分野、特に自動化とロボット工学では、360°と0°での不連続性を回避しながら角度の合計と差を計算することができます。^[要出典]${\displaystyle \mathrm {ノコギリ歯} (\theta )=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))}$
• のこぎり波は、 CRTベースのテレビやモニター画面でラスターを生成するために使用される垂直偏向信号と水平偏向信号の形式です。オシロスコープも水平偏向にのこぎり波を使用しますが、通常は静電偏向を使用します。
  • 波の「傾斜」上で、偏向ヨークによって生成された磁場が電子ビームを CRT の表面に沿って引きずり、走査線を作成します。
  • 波の「崖」では、磁場が突然崩壊し、電子ビームはできるだけ早く静止位置に戻ります。
  • 偏向ヨークに印加される電流は、鋸歯状の崖の中間電圧がゼロマークになるようにさまざまな手段（変圧器、コンデンサ、センタータップ巻線）で調整されます。つまり、負の電流は一方向に偏向を引き起こし、正の電流は他の方向に偏向を引き起こします。したがって、センターマウントの偏向ヨークは、画面領域全体を使用してトレースを描くことができます。水平周波数は、NTSCでは 15.734 kHz、 PALおよびSECAMでは 15.625 kHzです。
  • 垂直偏向システムは、水平偏向システムと同じように動作しますが、周波数ははるかに低くなります ( NTSCでは 59.94 Hz 、PAL および SECAM では 50 Hz)。
  • 波のランプ部分は直線でなければなりません。そうでない場合は、電流が直線的に増加していないこと、つまり偏向ヨークによって生成される磁場が直線的ではないことを示します。その結果、電子ビームは非直線部分で加速します。その結果、テレビ画像は非直線性の方向に「押しつぶされた」状態になります。極端な場合、電子ビームが画像のその側でより多くの時間を費やすため、明るさが著しく増加します。
  • 最初のテレビ受信機には、画像の垂直または水平の直線性を調整できるコントロールがありました。電子部品の安定性が向上したため、その後のテレビ受信機にはそのようなコントロールは搭載されていません。

• 周期関数のリスト
• 正弦波
• 矩形波
• 三角波
• 脈波
• 音
• 波
• ジグザグ

• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007年）。乗法数論I.古典理論。ケンブリッジ高等数学論文集。第97巻。536～537頁。ISBN 978-0-521-84903-6。