完全な空間ランダム性

完全空間ランダム性（CSR）は、特定の調査領域内で点イベントが完全にランダムに発生する点過程を表します。これは、均質空間ポアソン過程と同義です。^[1]このような過程は、定義された領域内の点の密度という1つのパラメータのみを使用してモデル化されます。完全空間ランダム性という用語は、応用統計学では特定の点パターンを調べる文脈でよく使用されますが、他のほとんどの統計的文脈では、空間ポアソン過程の概念を指します。^[1]${\displaystyle \rho}$

空間領域内に不規則に分布する点集合の形式のデータは、さまざまな状況で発生します。例としては、森林内の木の位置、鳥の巣の位置、組織内の核の位置、リスクのある集団内の病人の位置などがあります。このようなデータセットを空間点パターンと呼び、位置をイベントと呼んで、問題の領域内の任意の点と区別します。空間点パターンの完全な空間ランダム性の仮説は、任意の領域内のイベント数が、均一な区分ごとに平均カウントが与えられたポアソン分布に従うと主張します。パターンのイベントは、空間全体に独立して均一に分布しています。つまり、イベントはどこでも等しく発生し、相互に影響しません。

「均一」とは、研究地域全体で均一な確率分布に従うという意味で使用され、「均等に」研究地域全体に分散しているという意味ではありません。 ^[2]イベント間に相互作用はなく、イベントの強度は平面上で変化しません。たとえば、1 つのイベントの存在が近隣での他のイベントの発生を促進または阻害する場合、独立性の仮定は違反されます。

したがって、イベント密度のある領域内でポイントを正確に見つける確率は次のようになります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!}$

の第一モーメント、つまり領域内の点の平均数は、単純に です。この値はポアソン率パラメータなので直感的にわかります。 ${\displaystyle \rho V}$

任意の点の近傍点をある半径距離に配置する確率は次のようになります。 ${\displaystyle N^{\mathrm {th} }}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D}},}$

ここで、は次元数、はで与えられる密度依存パラメータ、 はガンマ関数であり、引数が整数のときは単純に階乗関数、つまりが積分 である。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$${\displaystyle n}$

の期待値は、統計モーメントを使用したガンマ関数を使用して導き出すことができます。第 1 モーメントは、次元内でランダムに分布する粒子間の平均距離です。 ${\displaystyle P_{N}(r)}$${\displaystyle D}$

CSRの研究は、実験ソースからの測定点データの比較に不可欠です。統計的検定法として、CSRの検定は社会科学や天文学の試験で多くの用途があります。^[3] CSRは、データセットを検定するための基準となることがよくあります。CSR仮説を検定するための1つのアプローチを大まかに説明すると、次のようになります。^[4]

1. 各イベントから次の最も近いイベントまでの距離の関数である統計を使用します。
2. まず、特定のイベントに焦点を当て、そのイベントと次に近いイベントが有意に近い（または遠い）かどうかをテストする方法を策定します。
3. 次に、すべてのイベントを考慮し、すべてのイベントから次の最も近いイベントまでの平均距離が有意に短い (または長い) かどうかをテストする方法を策定します。

検定統計量を解析的に計算することが困難な場合には、確率過程を多数回シミュレートするモンテカルロ法シミュレーションなどの数値的手法が用いられる。 ^[4]

• ディグル、PJ (2003)。空間点パターンの統計分析（第2版）。ニューヨーク：アカデミックプレス。ISBN 0340740701。

• 空間点過程におけるランダム性のイベント間距離検定の改善