点過程記法

確率と統計において、 点過程記法は、点過程と呼ばれるランダムなオブジェクトを記号で表現するために使用される数学的記法の範囲を構成します。点過程は、確率幾何学、空間統計、連続体浸透理論などの関連分野で使用され、時間、空間、またはその両方で点として表現可能なランダムな現象の 数学的モデルとして頻繁に使用されます。

この表記法は、特定の数学分野の歴史や点過程の異なる解釈によって異なり、^{[1] [2] [3] 、}測度論や集合論 などの数学の研究分野から表記法を借用している。^[1]

点過程の表記法や用語は、特定の仮定の下で点のランダムな列、点のランダムな集合、またはランダムな計数測定として解釈できる数学的対象としての設定と解釈に依存します。^[1]

いくつかの数学的枠組みでは、与えられた点過程は、各点がd次元ユークリッド空間 R ^{d [1]}やその他のより抽象的な数学的空間内にランダムに配置された点の列として考えることができます。一般に、ランダムな列が点過程の他の解釈と同等であるかどうかは、基礎となる数学的空間に依存しますが、これは有限次元ユークリッド空間R ^dの設定にも当てはまります。^[4]

点過程は、2点（またはそれ以上）の位置が1の確率で一致しない場合、単純と呼ばれます。点過程は単純であることが多く、点の順序は重要ではないため、ランダムな点の集合は点のランダム集合と見なすことができます^{[1] [5]}ランダム集合の理論は、デビッド・ケンドールとジョルジュ・マセロンによって独立して開発されました。ランダム集合と見なされるという点では、ランダム点のシーケンスは、確率1で蓄積点がシーケンスに存在しない場合、ランダム閉集合です^[6]

点過程は多くの場合、1文字で表記される（^{[1] [7] [8]}など） 。点過程をランダム集合とみなすと、対応する表記法は次のようになる。^[1]${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle x\in {N},}$

は、ランダムな点が点過程の要素である（または点過程に属する）ことを示すために使用されます。この解釈により、ランダム集合の理論を点過程に適用することができ、ランダムシーケンス解釈と併せて、点過程は次のように記述されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots \}=\{x\}_{i},}$

これは、ランダムな点の列またはランダムに閉じた点の集合のいずれかとして解釈されることを強調しています。^[1]さらに、大文字は点過程を表し、小文字は過程からの点を表すことがあります。そのため、たとえば、点(または) は点過程 に属するか、点過程の点であり、集合表記では となります。^[8]${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$

ボレル集合にある点の数を表すために、 ^[7]と書くこともある。${\displaystyle {N}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=\#(B\cap {N}),}$

ここで、はランダム変数、 は計数測度であり、ある集合内の点の数を与えます。この数式では、点過程は次のように表されます。 ${\displaystyle \Phi (B)}$${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}}$。

一方、シンボル:

${\displaystyle \Phi}$

はにおける点の数を表します。ランダム測定のコンテキストでは、次のように書くことができます。 ${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=n}$

は、 の点を含む集合が存在することを表します。言い換えれば、点過程は、 集合に負でない整数値の測度を割り当てるランダム測度と見なすことができます。 ^{[1]この解釈により、点過程は}ランダム計数測度の別名と見なされるようになりました^{[9] : 106}また、ランダム測度理論の手法は点過程を研究する別の方法を提供し、^{[1] [10]}積分や測度論で使用されるさまざまな表記法の使用も促します。^[a]${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {N}}$

点過程をランダム集合や計数測度として解釈する異なる解釈は、よく使われる表記法^{[1] [3] [8] [11]}で表現される。

• ${\displaystyle {N}}$ランダムな点の集合を表します。
• ${\displaystyle {N}(B)}$の点の数を与えるランダム変数を表します（したがって、ランダムカウント測定です）。${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

再び計数測度を と表記すると、この二重表記は次のことを意味します。 ${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}(B)=\#(B\cap {N}).}$

がR ^d上の測定可能な関数である場合、内のすべての点の和は、次のような いくつかの方法で表すことができます^{[1] [3] 。}${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots }$

これはランダムなシーケンスの外観を持ち、または次のようにセット表記されます。

${\displaystyle \sum _{x\in {N}}f(x)}$

または、積分記法では次のように表せます。

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}$

ここで、これはランダムな計数測定である という解釈を強調しています。別の積分表記法を使用して、この積分を次のように記述することもできます。${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}}$

点過程の二重解釈は、集合内の点の数を次のように記述するときに示されます。 ${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)}$

ここで、点が存在する場合は指示関数が、そうでない場合はゼロとなり、この設定では ディラック測度としても知られています。^[11]この式では、ランダム測度の解釈は左側にあり、ランダム集合表記法は右側に使用されています。 ${\displaystyle 1_{B}(x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$

点過程における関数の和の平均または期待値は次のように表される: [ 1 ] [ ^{3 ]}

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{または}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),}$

ここで（ランダム測度の意味で）は計数測度の空間上で定義された適切な確率測度である。の期待値は 次のように表される：^[1]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {N}}}$${\displaystyle {N}(B)}$

${\displaystyle E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{または}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).}$

これはの 第一モーメント測度としても知られています。このようなランダム和の期待値は点過程理論におけるショットノイズ過程として知られ、キャンベルの定理で計算することができます。^[2]${\displaystyle {N}}$

点過程は他の数学や統計の分野でも利用されているため、この表記法は確率幾何学、空間統計、連続体浸透理論などの分野や、これらの分野の方法や理論を使用する領域で使用されることがあります。

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