並列（演算子）

並列演算子 （「パラレル」と発音し、^[1]幾何学の平行線表記法に従う; ^{[2] [3]}縮約和、並列和、並列加算とも呼ばれる）は、電気工学の速記法として使用される2項演算であるが、^{[4] [5] [6] [注 1]}運動学、流体力学、金融数学でも使用される。^{[7] [8]}並列という名前は、並列に接続された抵抗器の合成抵抗を計算する演算子の使用に由来する。 ${\displaystyle \|}$

平行演算子は逆数値の合計の逆数値（「逆数式」または「調和和」とも呼ばれる）を表し、次のように定義されます。^{[9] [6] [10] [11]}

${\displaystyle a\Parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab} {a+b}},}$

ここで、a、b、は拡張複素数の要素である^{[12] [13]}${\displaystyle a\parallel b}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

この演算子は2つの数値aとbの調和平均の半分を返します。^{[7] [8]}

特別なケースとして、任意の数に対して: ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={\tfrac {1}{2}}a.}$

さらに、すべての異なる数に対して：${\displaystyle a\neq b}$

${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}>{\tfrac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}$

はの絶対値を表し、 はxとyのうちの最小値（最小の要素）を意味します。 ${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}}$${\displaystyle a\parallel b}$${\displaystyle \min(x,y)}$

とが異なる正の実数である場合、${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}$

この概念はスカラー演算から行列演算へと拡張され^{[14] [15] [16] [17] [18]}、さらに一般化されている^[19]。

この演算子は、もともと1956年にスンダラム・セシュによって簡約和として導入され、 ^{[20] [21] [14]}∗、1959年にケント・E・エリクソンによって演算子として研究され 、 ^{[22] [23] [14]}、1966年以降リチャード・ジェームズ・ダフィンとウィリアム・ナイルズ・アンダーソン・ジュニアによって数学とネットワーク理論における並列加算または並列和演算子 として普及しました。 ^{[15] [16] [1]}一部の著者は現在までこの記号を使用し続けていますが、^{[7] [8]}たとえば、スジット・クマール・ミトラは1970年に記号として使用しました。 ^[14]応用電子工学では、  1974年頃に演算子の記号として記号がより一般的になりました。^{[24] [25] [26] [27] [28] [注 1] [注 2]これは、ほとんどの}文字セットで使用可能な二重縦線（||）として記述されることがよくあります（^[29] [ ^30]）は、以前は「平行」を表すUnicode文字U+2225（ ‖ ）を使用して表すことができました。LaTeXおよび関連するマークアップ言語では、マクロとが演算子の記号を表すために よく使用されます（まれに使用されます）。:∙∥//\|\parallel\smallparallel

をゼロを除く拡張複素平面とすると、からへの全単射関数は恒等関数となる 。${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle \varphi (z)=1/z.}$

${\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}$

そして

${\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}$

これは、並列演算子が加算の代わりとなる体であり、この体が${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

複素数の対応する特性 を変換することで、次の特性が得られます。${\displaystyle \varphi }$

どの分野においても、さまざまな基本的なアイデンティティを満たします。 ${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}$

これは並列および乗算に関して 可換である:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}$

これは並列および乗算に関して結合的で^{ある: [12] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}$

どちらの演算にも単位元があります。並列演算の場合の単位元は で、乗算の場合の単位元は1です。 ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}$

のすべての要素には平行移動による逆元があり、これは加算による加法逆元に等しくなります。(ただし、0には平行移動による逆元はありません。) ${\displaystyle a}$${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle -a,}$

${\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}$

単位元はそれ自身の逆元であり、${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}$

のすべての要素には逆元があります。${\displaystyle a\neq \infty }$${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle a^{-1}=1/a}$

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}$

乗算は並列に対して分配的である: ^{[1] [7] [8]}

${\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}$

並列の繰り返しは除算に相当します。

${\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}$

あるいは、両辺にnを掛けると、

${\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}$

繰り返し加算とは異なり、これは可換ではありません。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}$

分配法則を2回使うと、2つの平行二項式の積は次のように展開できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}$

二項式の平方は

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}$

二項式の立方体は

${\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}$

一般に、二項式のn乗は、加算における二項係数の逆数である二項係数を使用して展開することができ、その結果、二項式と同様の式が得られます。

${\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}$

次のアイデンティティが保持されます:

${\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}$

加法多項式と同様に、係数が( )の並列多項式は単項式の積に 因数分解できます。${\displaystyle a_{k}}$${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle a_{0}\neq \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}$

いくつかの語根（重複している可能性あり）${\displaystyle r_{k}}$${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}$

加法多項式と同様に、多項式方程式は

${\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }$

は、あるkに対してとなることを意味します。 ${\textstyle x=r_{k}}$

線形方程式は、平行逆方程式によって簡単に解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

平行二次方程式を解くには、平方完成して二次方程式の類似物を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}$

ゼロを含む拡張複素数は 、平行法と乗法の下ではもはや体ではありません。これは、 0には平行法の下で逆数がないためです。(これは、加法的な逆数がないため体が体ではないことに類似しています。) ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}$${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}$${\displaystyle \infty }$

ゼロでないすべてのaに対して、

${\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}$

量は未定義のままにしておくことも（不定形式を参照）、 0と定義することもできます。 ${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}$

括弧がない場合、並列演算子は乗算と同様に加算や減算よりも優先されると定義されます。 ^{[1] [31] [9] [10]}

平行演算子は、電子工学、光学、周期性の研究に応用されています。

電気工学では、並列演算子を使用して、さまざまな直列および並列電気回路の合計インピーダンスを計算することができます。 ^{[注 2]}通常の（直列）合計と並列合計の間には二重性 があります。 ^{[7] [8]}

たとえば、並列に接続された抵抗器の合計抵抗値は、個々の抵抗器の逆数の合計の逆数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}$

直列コンデンサの合計静電容量についても同様です。^{[注 2]}

幾何光学において、レンズメーカーの方程式の 薄レンズ近似。

${\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}$

2つの軌道上の天体が合する間の時間は、朔望周期と呼ばれます。遅い方の天体の周期がT ₂、速い方の天体の周期がT ₁の場合、朔望周期は次のようになります。

${\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}$

質問：

3 つの抵抗器、、が並列に接続されています。その結果得られる抵抗値はいくらでしょうか?${\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }$${\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }$${\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }$

答え：

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}$

実際に得られる抵抗は約57kΩです。

質問: ^{[7] [8]}

建設作業員は 5 時間で壁を建てます。別の作業員は同じ作業に 7 時間かかります。2 人の作業員が並行して作業した場合、壁を建てるのにどれくらいの時間がかかりますか?

答え：

${\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }$

3時間近くで終わります。

並列演算子は、1959年にケント・E・エリクソンによってデジタルコンピュータのサブルーチンとして既に提案されていましたが^[22] 、 2008年以降は逆ポーランド記法（RPN）科学計算機WP 34S ^{[32] [33] [34]}にキーボード演算子として実装されており、2015年以降はWP 34C ^[35]とWP 43S ^{[36] [37]}にも実装されており、のようなカスケード問題も少ないキー操作で解くことができます。 270↵ Enter180∥120∥

体 Fが与えられると、射影直線P( F )へのFの埋め込みは2 つあります: z → [ z  : 1] とz → [1 : z ]。これらの埋め込みは、[0:1] と [1:0] を除いて重なり合っています。並列演算子は、埋め込み間の加算演算を関連付けます。実際、射影直線上のホモグラフィは2 x 2 行列 M(2, F ) で表され、体演算 (+ と ×) はホモグラフィに拡張されます。各埋め込みの加算a + bは、M(2, A ) の次の行列乗算で表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

2つの行列積は、M(2, F )の2つの部分群がFの加法群( F ,+)と同型であることを示しています。どの埋め込みが使用されるかによって、1つの演算は+、もう1つは${\displaystyle \parallel .}$

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