ニュートリノ振動

ニュートリノ振動は、特定のレプトン族番号（「レプトンフレーバー」：電子、ミューオン、またはタウ）で生成されたニュートリノが、後に異なるレプトン族番号を持つことが測定される量子力学的現象です。ニュートリノが空間を伝播するにつれて、特定のフレーバーを測定する確率は、3つの既知の状態の間で変化します。^[1]

ニュートリノ振動は1957年にブルーノ・ポンテコルボによって初めて予測され、 ^{[2] [3]}それ以来、さまざまな状況で多数の実験によって観測されてきました。最も注目すべきは、ニュートリノ振動の存在により、長年の懸案であった太陽ニュートリノ問題が解決されたことです。

ニュートリノ振動は理論的にも実験的にも大きな関心を集めており、その過程の正確な特性はニュートリノのいくつかの特性を解明する上で役立つ可能性がある。特に、ニュートリノはアインシュタイン・カルタンねじれの外側でゼロではない質量を持つことを意味しており、^{[4] [5]}素粒子物理学の標準モデルの修正が必要となる。^[1]スーパーカミオカンデ観測所とサドベリーニュートリノ観測所によるニュートリノ振動、ひいてはニュートリノ質量の実験的発見は、2015年のノーベル物理学賞に認められた。^[6]

ニュートリノ振動の証拠は、ニュートリノエネルギーの広範囲にわたって、さまざまな検出器技術を用いて、多くの情報源から大量に収集されてきました。^[7] 2015年のノーベル物理学賞は、これらの振動の初期の先駆的な観測により、 梶田隆章とアーサー・B・マクドナルドが共同受賞しました。

ニュートリノ振動は、比率の関数である⁠  ら /え⁠ 、ここでLは移動距離、Eはニュートリノのエネルギーです。(詳細は以下の § 伝播と干渉を参照)。利用可能なすべてのニュートリノ源はさまざまなエネルギーを生成し、振動はさまざまなエネルギーのニュートリノに対して固定距離で測定されます。測定の制限要因は、観測される各ニュートリノのエネルギーを測定できる精度です。現在の検出器のエネルギーの不確実性は数パーセントであるため、距離を 1% 以内で知ることができれば十分です。

ニュートリノ振動の影響を検出した最初の実験は、 1960年代後半のレイ・デイビスの ホームステイク実験であり、塩素ベースの検出器を使用して、標準太陽モデルの予測と比較して太陽ニュートリノのフラックスが不足していることを観測しました。 ^{[8]これにより、}太陽ニュートリノ問題が生まれました。その後の多くの放射化学検出器と水チェレンコフ検出器によって不足が確認されましたが、ニュートリノ振動が不足の原因であると決定的に特定されたのは、 2001年にサドベリーニュートリノ観測所がニュートリノフレーバーの変化の明確な証拠を示したときでした。 ^[9]

太陽ニュートリノのエネルギーは20MeV未満です 。5MeVを超えるエネルギーでは、太陽ニュートリノ振動は実際には太陽内でMSW効果と呼ばれる共鳴を通じて発生します。これは、この記事で後述する真空振動とは異なるプロセスです。^[1]

1970年代に提唱された、電磁力、弱い力、強い力の統一を示唆する理論に続いて、1980年代には陽子崩壊に関するいくつかの実験が行われた。IMB 、MACRO、カミオカンデIIなどの大型検出器は、ミューオンと電子フレーバーの大気ニュートリノのフラックス比の不足を観測した（ミューオン崩壊を参照）。スーパーカミオカンデ実験は、数百MeVから数TeVのエネルギー範囲で、地球の直径を基準としてニュートリノ振動の非常に正確な測定を提供した。大気ニュートリノ振動の最初の実験的証拠は1998年に発表された。^[10]

多くの実験で、原子炉で生成される電子反ニュートリノの振動が調べられてきた。1～2 kmの距離に検出器が設置されるまで、振動は発見されなかった。このような振動によって、パラメータθ ₁₃の値が得られる。原子炉で生成されるニュートリノは、太陽ニュートリノと同程度の数MeVのエネルギーを持つ。これらの実験のベースラインは、数十メートルから100 km以上（パラメータθ ₁₂）に及んだ。ミカエリヤンとシネフは、原子炉実験における系統的不確かさをキャンセルするために、2つの同一の検出器を使用してパラメータθ ₁₃を測定することを提案した。^[11]

2011年12月、Double Chooz実験ではθ ₁₃ ≠ 0であることが判明しました。^[12]その後、2012年にDaya Bay実験では、有意差5.2σでθ 13 ≠ 0であることが判明しました。 [ 13 _]これら の 結果^はその後RENOによって確認されました。^[14]  

粒子加速器で生成されるニュートリノビームは、研究対象となるニュートリノを最も制御できる。数GeVのエネルギーと数百kmの基線を持つニュートリノを使用して、大気ニュートリノ振動と同じ振動を研究する実験が数多く行われている。MINOS 、 K2K 、およびSuper-K実験はすべて、このような長い基線でのミューオンニュートリノの消失を独立して観測した。^[1]

LSND実験のデータは、他の実験で測定された振動パラメータと矛盾しているように見える。MiniBooNEの結果は2007年春に発表され、LSNDの結果と矛盾していたが、4番目のニュートリノタイプであるステライルニュートリノの存在を裏付けるものであった。^[1]

2010年、INFNとCERNは、ジュネーブの発生源から730km離れたグラン・サッソにあるOPERA検出器でミューニュートリノビーム中にタウオン粒子を観測したと発表した。^[15]

T2Kは_、地球の295km上空を照射するニュートリノビームとスーパーカミオカンデ検出器を使用して、ニュートリノビームのθ13^{パラメータの値がゼロではないことを測定しました。 [16]} NOνAは、810kmのベースラインを持つMINOSと同じビームを使用しており、同じニュートリノビームに敏感です。

ニュートリノ振動は、ニュートリノのフレーバー固有状態と質量固有状態の混合から生じる。つまり、荷電レプトンと弱い相互作用で相互作用する3つのニュートリノ状態は、それぞれが一定の質量を持つ3つの（伝播する）ニュートリノ状態の異なる重ね合わせである。ニュートリノはフレーバー固有状態^[a]で弱い過程で放出され吸収されるが、質量固有状態として移動する。^[18]

ニュートリノの重ね合わせが空間を伝播するにつれ、3 つのニュートリノ質量状態の量子力学的位相は、それぞれの質量のわずかな違いにより、わずかに異なる速度で進みます。このため、ニュートリノが移動するにつれて、重ね合わせの質量固有状態の混合が変化します。ただし、質量固有状態の異なる混合は、フレーバー状態の異なる混合に対応します。たとえば、電子ニュートリノとして生まれたニュートリノは、ある距離を移動した後、電子、ミュー、タウニュートリノの混合になります。量子力学的位相は周期的に進むため、ある距離を移動した後、状態はほぼ元の混合に戻り、ニュートリノは再び大部分が電子ニュートリノになります。ニュートリノの電子フレーバーの内容は、量子力学的状態がコヒーレンスを維持する限り、振動し続けます。ニュートリノのフレーバー間の質量差はニュートリノ振動の長いコヒーレンス長に比べて小さいため、この微視的な量子効果は巨視的な距離にわたって観測可能になります。

対照的に、荷電レプトン（電子、ミューオン、タウレプトン）は質量が大きいため、振動することが観測されたことはありません。原子核のベータ崩壊、ミューオン崩壊、パイ中間子崩壊、K中間子崩壊において、ニュートリノと荷電レプトンが放出されると、荷電レプトンは次のような非整合な質量固有状態で放出されます 。|
e⁻
⟩、その大きな質量のためです。弱い力の結合により、同時に放出されたニュートリノは「荷電レプトン中心」の重ね合わせ状態になります。  |
ν
_e⟩は、電子の質量固有状態によって固定される「フレーバー」の固有状態であり、ニュートリノ自身の質量固有状態の 1 つではありません。ニュートリノは質量固有状態ではないコヒーレントな重ね合わせ状態にあるため、その重ね合わせを構成する混合物は移動中に大きく振動します。標準モデルには、荷電レプトンを検出可能に振動させる類似のメカニズムは存在しません。荷電レプトンが固有の質量固有状態で放出される上記の 4 つの崩壊では、単一の質量固有状態が振動せずに伝播するため、荷電レプトンは振動しません。

（実際の） W ボソン崩壊の場合はより複雑です。W ボソン崩壊は、質量固有状態ではない荷電レプトンを生成するのに十分なエネルギーを持っています。しかし、荷電レプトンは、原子間距離（0.1  nm）を超えると、コヒーレンス（あったとしても）を失い、したがって意味のある振動はすぐに止まります。さらに重要なことは、標準モデルのメカニズムでは、そもそも、質量固有状態ではないコヒーレント状態に荷電レプトンを固定することができません。代わりに、W ボソン崩壊からの荷電レプトンは、最初は質量固有状態にはありませんが、いかなる「ニュートリノ中心」固有状態にも、他のいかなるコヒーレント状態にもありません。このような特徴のない荷電レプトンが振動する、または振動しないと言うことは意味がありません。なぜなら、いかなる「振動」変換も、振動前と同じ一般的な状態のままになるだけだからです。したがって、Wボソンの崩壊による荷電レプトン振動の検出は複数のレベルでは不可能である。^{[19] [20]}

ニュートリノ振動の考えは、1957年にブルーノ・ポンテコルボによって初めて提唱され、彼はニュートリノ-反ニュートリノ遷移が中性K中間子の混合と類似して起こるかもしれないと提唱した。^[2]そのような物質-反物質振動は観測されていなかったが、この考えはニュートリノフレーバー振動の定量的理論の概念的基礎を形成し、1962年に牧、中川、坂田によって最初に開発され、1967年にポンテコルボによってさらに詳しく述べられた。 ^{[3] 1}年後、太陽ニュートリノ不足が初めて観測され、^[22]それに続いて、1969年にグリボフとポンテコルボによる「ニュートリノ天文学とレプトン電荷」と題された有名な論文が発表された。^[23]

ニュートリノ混合の概念は、質量を持つニュートリノを含むゲージ理論の自然な帰結であり、その構造は一般的に特徴づけることができる。^[24]最も単純な形では、フレーバーと質量の固有基底を関係付けるユニタリー変換として表現され、次のように書くことができる。

${\displaystyle \left|\nu _{i}\right\rangle =\sum _{\alpha }U_{\alpha i}^{*}\left|\nu _{\alpha }\right\rangle ,}$

${\displaystyle \left|\nu _{\alpha }\right\rangle =\sum _{i}U_{\alpha i}\left|\nu _{i}\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle \ \left|\nu _{\alpha }\right\rangle \ }$は明確なフレーバーを持つニュートリノです。α = e (電子)、μ (ミューオン)、またはτ (タウオン)、

${\displaystyle \ \left|\nu _{i}\right\rangle \ }$明確な質量を持つニュートリノである${\displaystyle \ m_{i}\ ,}$ ${\displaystyle i=1,2,3,}$

上付きのアスタリスク（）は複素共役を表します。反ニュートリノの場合、複素共役は最初の式から削除され、2番目の式に挿入されます。${\displaystyle ^{*}}$

記号は、ポンテコルボ・マキ・ナカガワ・サカタ行列（PMNS行列、レプトン混合行列、または単にMNS行列と呼ばれることもある）を表します。これは、クォークの類似混合を記述するCKM行列の類似物です。この行列が単位行列であれば、フレーバー固有状態は質量固有状態と同じになります。しかし、実験ではそうではないことが示されています。 ${\displaystyle U_{\alpha i}}$

標準的な3ニュートリノ理論を考慮すると、行列は3×3である。ニュートリノを2つだけ考慮する場合は、2×2行列が使用される。1つ以上のステライルニュートリノが追加された場合（後述）、行列は4×4以上になる。3×3形式では、^{[25]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta }&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

ここでc _ij ≡ cos θ _ij 、s _ij ≡ sin θ _{ij で} ある。位相係数α ₁およびα ₂は、ニュートリノがマヨラナ粒子である場合、つまりニュートリノがその反ニュートリノと同一である場合（同一であるかどうかは不明）にのみ物理的に意味を持ち、いずれにしても振動現象には関与しない。ニュートリノなしの二重ベータ崩壊が発生する場合、これらの係数はその速度に影響を与える。位相係数δ は、ニュートリノ振動がCP 対称性を破る場合にのみゼロ以外になるが、これはまだ実験的に観測されていない。実験でこの 3×3 行列がユニタリでないことが示された場合、ステライル ニュートリノまたは他の新しい物理学が必要となる。

は質量固有状態なので、その伝播は平面波の解 によって記述できる。${\displaystyle \left|\,\nu _{j}\,\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\,\nu _{j}(t)\,\right\rangle =e^{-i\,\left(\,E_{j}t\,-\,{\vec {p}}_{j}\cdot {\vec {x}}\,\right)}\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~,}$

どこ

• 量は自然単位 で表され、${\displaystyle (\,c=1,\hbar =1\,)~,}$${\displaystyle ~i^{2}\,\equiv \,-1~,}$
• ${\displaystyle E_{j}}$は質量固有状態のエネルギーであり、${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle t}$伝播開始からの時間であり、
• ${\displaystyle {\vec {p}}_{j}}$は3次元の運動量であり、
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$粒子の開始位置に対する現在の位置です

超相対論的極限では、エネルギーは次のように近似できる。 ${\displaystyle \left|{\vec {p}}_{j}\right|=p_{j}\gg m_{j}~,}$

${\displaystyle E_{j}={\sqrt {\,p_{j}^{2}+m_{j}^{2}\;}}\simeq p_{j}+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,p_{j}\,}}\approx E+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,E\,}}~,}$

ここで、E は検出される波束（粒子）のエネルギーです。

この制限は、すべての実用的な（現在観測されている）ニュートリノに当てはまります。ニュートリノの質量は1 eV未満で、エネルギーは少なくとも1 MeVなので、ローレンツ因子γは10より大きいです。⁶全ての場合において。t ≈ L （Lは移動距離）と位相因子を除いた値も使用すると、波動関数は次のようになる 。

${\displaystyle \left|\,\nu _{j}(L)\,\right\rangle =e^{-i\,\left({\frac {\,m_{j}^{2}\,L\,}{2\,E}}\right)}\,\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~.}$

異なる質量を持つ固有状態は、異なる周波数で伝播します。重い固有状態は、軽い固有状態に比べて振動が速くなります。質量固有状態はフレーバー固有状態の組み合わせであるため、この周波数の違いにより、各質量固有状態の対応するフレーバー成分間で干渉が発生します。建設的干渉により、特定のフレーバーで生成されたニュートリノが伝播中にフレーバーを変えるのを観測することが可能になります。元々フレーバーαのニュートリノが後にフレーバーβを持つものとして観測される確率は、

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta }\,=\,{\Bigl |}\,\left\langle \,\left.\nu _{\beta }\,\right|\,\nu _{\alpha }(L)\,\right\rangle \,{\Bigr |}^{2}\,=\,\left|\,\sum _{j}\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,e^{-i{\frac {m_{j}^{2}\,L}{2E}}}\,\right|^{2}~.}$

これは次のように書くと便利である。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\alpha \rightarrow \beta }=\delta _{\alpha \beta }&{}-4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{4E}}\right)\\&{}+2\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)~,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \Delta _{jk}m^{2}\ \equiv m_{j}^{2}-m_{k}^{2}~.}$

振動の原因となる位相は、（cと復元） と表記されることが多い。${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {\Delta _{jk}(mc^{2})^{2}\,L}{4\hbar c\,E}}={\frac {{\rm {GeV}}\,{\rm {fm}}}{4\hbar c}}\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}\approx 1.27\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}~,}$

ここで、1.27 は単位がありません。この形式では、振動パラメータを代入すると便利です。

• 質量差Δm2は^{10−4eV2 =} (10−2eV ⁾  2^{のオーダー}であることが知られている 。
• 現代の実験における振動距離Lはキロメートルのオーダーである。
• 現代の実験におけるニュートリノエネルギーEは、通常 MeV または GeV のオーダーです。

CP対称性の破れがない場合（δがゼロの場合）、2番目の和はゼロになります。それ以外の場合、CP非対称性は次のように表されます。

${\displaystyle A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=P(\nu _{\alpha }\rightarrow \nu _{\beta })-P({\bar {\nu }}_{\alpha }\rightarrow {\bar {\nu }}_{\beta })=4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)}$

ヤールスコグ不変量の観点から

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}=J\,\sum _{\gamma ,\ell }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\,\varepsilon _{jk\ell }~,}$

CP非対称性は次のように表される。

${\displaystyle A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=16\,\sin \left({\frac {\Delta _{21}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{32}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{31}m^{2}\,L}{4E}}\right)\,J\,\sum _{\gamma }\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}$

上記の式は、ニュートリノの世代数がいくつであっても正しい。混合角で明示的に記述するのは、混合に関与するニュートリノが2つ以上ある場合、非常に面倒である。幸い、2つのニュートリノだけが有意に関与する意味のあるケースがいくつかある。この場合、混合行列を考えるだけで十分である。

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

ニュートリノのフレーバーが変化する確率は

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}L}{4E}}\right)\quad {\text{ [natural units] .}}}$

あるいは、SI単位系と上で紹介した慣例 を用いると

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left(1.27\,{\frac {\Delta m^{2}L}{E}}\,{\frac {\rm {[eV^{2}]\,[km]}}{\rm {[GeV]}}}\right)~.}$

この式は、大気混合におけるν _μ ↔ ν _{τ の} 遷移を議論するのによく適しています。これは、この場合、電子ニュートリノがほとんど役割を果たさないためです。また、太陽の場合のν _e ↔ ν _xにも適しています。ここで、ν _xは ν _μ とν _τの混合 (重ね合わせ) です。これらの近似が可能なのは、混合角θ ₁₃が非常に小さく、2 つの質量状態が 3 つ目の質量状態と比較して非常に近いためです。

ニュートリノ振動の背後にある基本的な物理学は、結合した調和振動子のあらゆるシステムで見つけることができます。簡単な例としては、弱いバネ (バネ定数が小さいバネ) で接続された2 つの振り子のシステムがあります。最初の振り子は実験者によって動かされ、2 番目の振り子は静止状態から始まります。時間が経つにつれて、2 番目の振り子はバネの影響を受けて揺れ始め、最初の振り子は 2 番目の振り子にエネルギーを失うにつれて振幅が減少します。最終的に、システムのすべてのエネルギーが 2 番目の振り子に移され、最初の振り子は静止します。その後、プロセスは逆になります。エネルギーは、摩擦によって失われるまで、2 つの振り子の間で繰り返し振動します。

このシステムの動作は、その通常の振動モードを見ることで理解できます。2 つの振り子が同一である場合、1 つの通常のモードでは、両方の振り子が一定の距離を保ちながら同じ方向に振動し、もう 1 つのモードでは、振り子が反対方向 (鏡像) に振動します。これらの通常のモードは、2 番目には (弱い) バネが関与し、1 番目には関与しないため、周波数が (わずかに) 異なります。2 つの振り子システムの初期状態は、両方の通常のモードの組み合わせです。時間が経つにつれて、これらの通常のモードは位相がずれ、最初の振り子から 2 番目の振り子への動きの伝達として見られます。

2 つの振り子によるシステムの記述は、ニュートリノのフレーバー基底に類似しています。これらは、最も簡単に生成および検出されるパラメータです (ニュートリノの場合は、W ボソンを含む弱い相互作用によって)。通常モードによる記述は、ニュートリノの質量基底に類似しています。これらのモードは、システムが外部の影響を受けていない場合は、互いに相互作用しません。

振り子が同一でない場合、解析はやや複雑になります。小角近似では、単一の振り子システムの位置エネルギーは で、ここでgは標準重力、Lは振り子の長さ、mは振り子の質量、x は振り子の水平方向の変位です。孤立したシステムの場合、振り子は周波数 の調和振動子です。バネの位置エネルギーは で、ここでkはバネ定数、x は変位です。質量が付いている場合、バネは の周期で振動します。質量は等しいが長さが異なっている可能性のある 2 つの振り子 (ラベルaとb ) がバネで接続されている場合、合計の位置エネルギーは ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {mg}{L}}x^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {g/L\;}}\,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {k/m\;}}\,}$

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}\left({\frac {g}{L_{a}}}x_{a}^{2}+{\frac {g}{L_{b}}}x_{b}^{2}+{\frac {k}{m}}(x_{b}-x_{a})^{2}\right).}$

これはx _aとx _bの二次形式であり、行列積としても表すことができます。

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{a}&x_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {g}{L_{a}}}+{\frac {k}{m}}&-{\frac {k}{m}}\\-{\frac {k}{m}}&{\frac {g}{L_{b}}}+{\frac {k}{m}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}.}$

2×2行列は実対称なので（スペクトル定理により）直交対 角化可能である。つまり、角度θが存在し、次のように定義すると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

それから

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}\ x_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

ここで、λ ₁とλ _{2 は}行列の固有値です。変数 x ₁と x _{2 は、}周波数がおよびで振動する通常モードを表します。2 つの振り子が同一である場合 ( L _a = L _b )、θは 45° です。 ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{1}\,}}}$${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{2}\,}}}$

角度θはカビボ角に類似しています(ただし、この角度はニュートリノではなくクォークに適用されます)。

振動子（粒子）の数が 3 つに増えると、直交行列は単一の角度では記述できなくなり、代わりに 3 つの角度（オイラー角）が必要になります。さらに、量子の場合、行列は複素数になることがあります。このため、回転角に加えて複素位相を導入する必要がありますが、これはCP 対称性の破れと関連していますが、ニュートリノ振動の観測可能な効果には影響しません。

振動に関与するニュートリノが 2 つだけの近似では、振動の確率は単純なパターンに従います。

青い曲線は、元のニュートリノがそのアイデンティティを保持する確率を示しています。赤い曲線は、他のニュートリノに変換される確率を示しています。変換の最大確率は sin ² 2 θに等しくなります。振動の周波数は Δm ²によって制御されます。

3 つのニュートリノを考慮すると、各ニュートリノの出現確率はやや複雑になります。以下のグラフは各フレーバーの確率を示しています。左の列のプロットは、遅い「太陽」振動を表示するために長い範囲を示し、右の列のプロットは、速い「大気」振動を表示するために拡大されています。これらのグラフを作成するために使用されたパラメータ (以下を参照) は現在の測定値と一致していますが、一部のパラメータはまだかなり不確実であるため、これらのグラフの一部の側面は定性的にのみ正しいです。^[26]

イラストは以下のパラメータ値を使用して作成された: ^[26]

• sin ² (2 θ ₁₃ ) = 0.10 (小さな波の大きさを決定します。)
• サイン²（2θ23）= _0.97
• サイン²（2θ12）= _0.861
• δ = 0 (この位相の実際の値が大きい場合、確率は多少歪んで、ニュートリノと反ニュートリノで異なります。)
• 通常の質量階層: m ₁ ≤ m ₂ ≤ m ₃
• Δm​²
  ₁₂=0.759 × 10 ⁻⁴  eV ²
• Δm​²
  ₃₂≈ Δm²
  ₁₃=23.2 × 10 ⁻⁴  eV ²

• sin ² (2 θ ₁₃ ) =0.093 ± 0.008  。^[27] Daya Bay、RENO、Double Choozの結果を組み合わせたPDG 。
• sin ² (2 θ ₁₂ ) =0.846 ± 0.021  。^{[27]これは}_{、カムランド、太陽、原子炉、加速器のデータから得られた}θsol （太陽）に対応する。
• sin ² ( 2θ ₂₃ ″) >90%信頼水準で0.92 、 θ ₂₃ ≡ θ _atm =に相当45 ± 7.1°（大気圧）^[28]
• Δ ₂₁ m ² ≡ Δ m²
  _ソル= (0.753 ± 0.018) × 10 ^-4  eV ^{2 [27]}
• |Δ ₃₁^平方メートル| ≈ |Δ ₃₂^平方メートル| ≡ Δ m²
  _気圧= (24.4 ± 0.6) × 10 ⁻⁴  eV ²（通常の質量階層）^[27]
• δ、α ₁、α ₂、およびΔ mの符号²
  ₃₂現時点では不明です。

太陽ニュートリノ実験とカムランドを組み合わせることで、いわゆる太陽パラメータΔmが測定された。²
_ソルおよびsin ² θ _sol。スーパーカミオカンデなどの大気ニュートリノ実験とK2KおよびMINOS長基線加速器ニュートリノ実験により、いわゆる大気パラメータΔ mが決定されている。 ²
_気圧そしてsin ² θ _atm。最後の混合角θ _{13 は、} Daya Bay、Double Chooz、RENOの実験によってsin ² (2 θ ₁₃ ″)として測定されています。

大気ニュートリノの場合、関連する質量の差は約Δ m ² =24. × 10 ⁻⁴  eV ² であり、典型的なエネルギーは≈1 GeV ; これらの値の場合、数百キロメートル移動するニュートリノの振動が見えるようになります。これらのニュートリノは、地平線の下から地球を通過して検出器に到達するニュートリノです。

混合パラメータθ ₁₃は、原子炉からの電子反ニュートリノを使用して測定されます。反ニュートリノ相互作用の速度は、原子炉の近くに配置された検出器で測定され、大きな振動が発生する前のフラックスが決定され、その後、原子炉から数キロメートル離れた場所に配置された遠方検出器で測定されます。振動は、遠方検出器で電子反ニュートリノが明らかに消失する現象として観測されます (つまり、遠方サイトでの相互作用速度は、近方サイトでの観測速度から予測される速度よりも低くなります)。

大気ニュートリノ振動実験と太陽ニュートリノ振動実験から、MNS行列の2つの混合角は大きく、3つ目は小さいことが分かっています。これは、3つの角度すべてが小さく、階層的に減少しているCKM行列とは対照的です。MNS行列のCP対称性を破る位相は、2020年4月現在、T2K実験によれば、-2度から-178度の間のどこかにあるとされています。^[29]

ニュートリノの質量がマヨラナ型（ニュートリノがそれ自身の反粒子になる） であることが証明された場合、MNS マトリックスに複数の位相が存在する可能性があります。

ニュートリノ振動を観測する実験では絶対質量ではなく質量差の二乗を測定するため、観測結果と矛盾することなく、最も軽いニュートリノ質量は正確にゼロであると主張することもできる。しかし、理論家はこれがありそうにないと考えている。

ニュートリノ質量がどのように発生するかという疑問には、決定的な答えはまだ出ていません。素粒子物理学の標準モデルでは、フェルミオンはヒッグス場との相互作用によってのみ固有の質量を持ちます (ヒッグス粒子を参照)。これらの相互作用には、フェルミオンの左手型と右手型の両方が必要です (カイラリティを参照)。しかし、これまで観測されているのは左手型のニュートリノだけです。

ニュートリノは、マヨラナ質量項を通じて別の質量源を持つ可能性があります。このタイプの質量は電気的に中性な粒子に適用されます。そうしないと、粒子が反粒子に変化し、電荷保存則に違反することになるからです。

左巻きニュートリノのみを持つ標準モデルに対する最小の修正は、これらの左巻きニュートリノにマヨラナ質量を持たせることです。これの問題は、ニュートリノの質量が他の既知の粒子よりも驚くほど小さいことです (電子の質量の少なくとも 600,000 分の 1 小さい)。これは理論を無効にするものではありませんが、この構成ではニュートリノの質量スケールの起源について何も洞察が得られないため、不満足であると広く考えられています。

次に簡単な追加は、標準モデルに、左手ニュートリノおよびヒッグス場と他のフェルミオンと類似した方法で相互作用する右手ニュートリノを追加することです。これらの新しいニュートリノは、他のフェルミオンとこの方法でのみ相互作用するため、直接観測できず、現象論的に排除されません。質量スケールの不一致の問題は残っています。

現在最も広く推測されている解決策は、非常に大きなマヨラナ質量を持つ右巻きニュートリノを追加するシーソー機構です。右巻きニュートリノが非常に重い場合、左巻きニュートリノに非常に小さな質量が生じ、その質量は重い質量の逆数に比例します。

ニュートリノがヒッグス場と荷電フェルミオンとほぼ同じ強さで相互作用すると仮定すると、重い質量はGUTスケールに近くなるはずです。標準モデルには基本的な質量スケールが1つしかないため、^[b]すべての粒子の質量^[c]はこのスケールに関連して生じなければなりません。

シーソーには他にも様々な種類があり^[30]、現在では逆シーソー機構などのいわゆる低スケールシーソー方式に大きな関心が集まっています^{[31] 。}

右巻きニュートリノの追加は、標準モデルの質量スケールとは無関係な新しい質量スケールを追加する効果があり、したがって重い右巻きニュートリノの観測は標準モデルを超えた物理学を明らかにすることになる。右巻きニュートリノは、レプトジェネシスと呼ばれるメカニズムを通じて物質の起源を説明するのに役立つだろう。

標準モデルを修正する方法としては、重い右利きニュートリノの追加（例えば、三重項状態の新たなスカラーまたはフェルミオンの追加）と、それほど類似していない他の修正（例えば、ループ効果および/または抑制された結合からのニュートリノ質量）の代替方法がある。最後のタイプのモデルの一例は、R パリティが対称性ではない、基本相互作用の標準モデルの特定のバージョン超対称拡張によって提供される。そこでは、スクォークやスレプトンなどの超対称粒子の交換により、レプトン数が破壊され、ニュートリノ質量が生じる可能性がある。これらの相互作用は、すべて含めると許容できないほど急速な陽子崩壊につながる相互作用のクラスに属するため、通常は理論から除外される。これらのモデルは予測力がほとんどなく、冷たい暗黒物質の候補を提供することができない。

粒子の濃度と温度が高かった初期宇宙では、ニュートリノ振動は異なる挙動を示した可能性がある。 ^[32]ニュートリノ混合角パラメータと質量に応じて、真空のようなニュートリノ振動、滑らかな進化、自己維持されたコヒーレンスなど、幅広い挙動が生じる可能性がある。このシステムの物理は単純ではなく、高密度ニュートリノガス中のニュートリノ振動が関係している。

• MSW効果
• マジョロン
• 中性K中間子の混合
• ローレンツ対称性を破るニュートリノ振動
• 中性粒子振動
• ニュートリノ天文学

• Gonzalez-Garcia; Nir ​​(2003). 「ニュートリノの質量と混合: 証拠と意味」.現代物理学レビュー. 75 (2): 345–402. arXiv : hep-ph/0202058 . Bibcode :2003RvMP...75..345G. doi :10.1103/RevModPhys.75.345. S2CID  119501801.
• Maltoni; Schwetz; Tortola; Valle (2004). 「ニュートリノ振動に対するグローバルフィットの現状」。New Journal of Physics . 6 (1): 122. arXiv : hep-ph/0405172 . Bibcode :2004NJPh....6..122M. doi :10.1088/1367-2630/6/1/122. S2CID  119459743.
• Fogli、Lisi、Marrone、Montanino、Palazzo 、 Rotunno (2012)。「ニュートリノ質量、混合、位相のグローバル解析：レプトンCP対称性の破れ探索の時代へ」。Physical Review D。86 ( 1 ): 013012。arXiv : 1205.5254。Bibcode : 2012PhRvD..86a3012F。doi : 10.1103/PhysRevD.86.013012。S2CID 119107183  。
• Forero、Tortola、Valle (2012)。「ニュートリノ2012後のニュートリノ振動パラメータのグローバルな状況」。Physical Review D 。86 ( 7): 073012。arXiv : 1205.4018。Bibcode : 2012PhRvD..86g3012F。doi : 10.1103 /PhysRevD.86.073012。S2CID 53708945  。

• arxiv.org のレビュー記事
• 「ニュートリノ振動と太陽ニュートリノパズル（講義-09）G. スリニヴァサン教授」。YouTube。国際理論科学センター。2018年5月18日。 ガネーサン・スリニヴァサンは1984年にインド科学アカデミーの会員に選出されました。