モノドロミー

数学において、モノドロミーとは、数学的解析、代数的位相幾何学、代数幾何学、微分幾何学のオブジェクトが特異点を「回る」ときにどのように動作するかを研究する学問である。名前が示すように、モノドロミーの基本的な意味は「単独で回る」ことに由来する。これは被覆マップとその分岐への退化と密接に関連している。モノドロミー現象を引き起こす側面は、特異点を囲む経路を「回る」ときに、定義したい特定の関数が単一の値にならないことである。モノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによって測定できる。モノドロミー群とは、1次元で「回る」ときに何が起こるかをコード化するデータに作用する変換のグループである。モノドロミーの欠如は、ポリドロミーと呼ばれることもある。^[1]

意味

$X を$ 基点 $x を$ 持つ連結かつ局所連結な基底位相空間とし、をファイバーによる被覆とする。 $x$ を基点とするループ $γ: [0, 1] \to$ $X$ に対して、点から始まる被覆写像の下のリフトをで表す。最後に、端点をで表す。これは一般にとは異なる。この構成により、基本群 $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $)$ の $F$ への明確に定義された群作用が得られ、の安定化因子がちょうど、つまり、元 $[γ] が$ $F$ 内の点を固定するための必要十分条件は、それがを基点とする内のループの像で表されることであるという定理がある。この作用はモノドロミー作用と呼ばれ、対応する $F$ 上の自己同型群への準同型 $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Aut($ $H$ $*$ $($ $F$ $x$ $))$ は代数的モノドロミーである。この準同型の像はモノドロミー群である。 $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Diff($ $F$ $x$ $)/Is($ $F$ $x$ $)$ という別の写像があり、その像は位相モノドロミー群と呼ばれます。 $p:{\tilde {X}}\to X$ $F=p^{-1}(x)$ ${\tilde {x}}\in F$ ${\チルダ {\ガンマ }}$ ${\tilde {x}}\cdot \gamma$ ${\チルダ {\gamma }}(1)$ ${\tilde {x}}$ ${\tilde {x}}$ $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$ ${\tilde {X}}$ ${\tilde {x}}$

例

これらの考え方は、複素解析において初めて明示されました。解析接続の過程で、穴の開いた複素平面の開集合 $Eにおける$ 解析関数 $F (z)$ である関数は、異なる値で $E$ に戻ることができます。たとえば、 $\mathbb {C} \backslash \{0\}$

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{aligned}}

次に円周を反時計回りに解析接続する

|z|=1

は $F (z)$ ではなく

F(z)+2\pi i

この場合、モノドロミー群は無限巡回であり、被覆空間は穴あき複素平面の普遍被覆です。この被覆は、 $ρ$ $> 0に制限された$ ヘリコイド（ヘリコイドの記事で定義されている）として視覚化できます。被覆マップは垂直投影であり、ある意味では、明らかな方法で螺旋を折りたたんで穴あき平面を取得します。

複素領域における微分方程式

重要な応用の 1 つは微分方程式であり、単一の解から解析接続によってさらに線型独立な解が得られることがあります。複素平面上の連結した開集合Sで定義された線型微分方程式にはモノドロミー群があり、これは (より正確には) Sの基本群の線型表現であり、 S内のループを巡るすべての解析接続をまとめたものです。逆問題、つまり表現が与えられた場合に (正則な特異点を持つ) 方程式を構築する問題は、リーマン-ヒルベルト問題です。

通常の（特にフックスの）線形システムでは、モノドロミー群の生成元として、システムの極の 1 つだけを反時計回りに迂回するループに対応する演算子M _{j を}選択するのが一般的です。基点を時計回りに迂回するときにインデックスj が1 からp + 1に増加するように選択すると、生成元間の関係は等式のみになります。ドリーニュ–シンプソン問題は、次の実現問題です。GL( n , C )の共役類のどの組に対して、これらの類から上記の関係を満たす行列M _jの既約組が存在するか。この問題はピエール・ドリーニュによって定式化され、カルロス・シンプソンが最初に解決に向けた結果を得ました。フックス系の残差に関する問題の加法バージョンは、ウラジミール・コストフによって定式化され、研究されました。この問題はGL( n , C )以外の行列群についても他の著者によって検討されている。 ^[2] $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$

位相的および幾何学的側面

被覆写像の場合、これをファイバ化の特殊なケースとして見て、ホモトピー持ち上げ特性を使用して、ベース空間X上のパス (簡単にするためにパス接続されていると仮定) が被覆Cに持ち上げられるときにパスを「たどります」。 X内のxに基づくループをたどると(これをxより上の cから開始するように持ち上げます)、 xより上のc*で終了します。 c ≠ c*である可能性は十分にあり、これをコード化するには、基本群 $π$ ₁ ( X、 x )の作用を、このコンテキストでのモノドロミー群として、すべてのcの集合上の置換群として考慮します。

微分幾何学では、平行移動が同様の役割を果たします。滑らかな多様体M上の主バンドル Bでは、接続によって、 M内のmより上のファイバーから隣接するファイバーへの「水平」移動が可能になります。 mに基づくループに適用した場合の効果は、mでのファイバーの並進のホロノミーグループを定義することです。 Bの構造グループがGである場合、それは積バンドル M × GからのBの偏差を測定するGのサブグループです。

モノドロミー群と葉理

基本群と同様に、基点の選択をなくし、モノドロミー群を定義することが可能です。ここでは、ファイバレーションの基底空間X内のパスのリフト（のホモトピー類）を検討します。結果は、基底空間X上の群の構造を持ちます。利点は、 Xの連結性の条件を削除できることです。 $p:{\tilde {X}}\to X$

さらに、この構成は葉状構造にも一般化できます。M の（おそらく特異な）葉状構造を考えてみましょう。すると、の葉のすべてのパスについて、端点を通る局所横断面上の誘導微分同相写像を考えることができます。単連結チャート内では、端点の周りの微分同相写像の芽まで進むと、この微分同相写像は一意になり、特に異なる横断面間で標準的になります。このようにして、単連結チャート内のパス（固定された端点間）からも独立し、したがってホモトピーに対して不変になります。 $(M,{\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

ガロア理論による定義

F ( x )は、多項式環F [ x ]の分数体である体F上の変数xの有理関数の体を表すものとします。 F ( x )の元y = f ( x ) は有限体拡大[ F ( x ) : F ( y )] を決定します。

この拡大は一般にガロアではないが、ガロア閉包 L ( f ) を持つ。拡大 [ L ( f ): F ( y )] の関連するガロア群はfのモノドロミー群と呼ばれる。

F = C の場合、リーマン面理論が登場し、上記の幾何学的解釈が可能になります。拡大 [ C ( x ): C ( y )] がすでにガロアである場合、関連するモノドロミー群はデッキ変換の群と呼ばれることがあります。

これは、リーマンの存在定理につながるガロア被覆空間理論と関係があります。

参照

注記

^ ケーニッヒ、ヴォルフガング;シュプレケルス、ユルゲン (2015)。 Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – 彼の人生と仕事の側面 (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。 200–201ページ。ISBN 9783658106195. 2017年10月5日閲覧。
^ VP Kostov (2004)、「デリーニュ・シンプソン問題 — 概観」、J. Algebra、281 (1): 83–108、arXiv : math/0206298、doi :10.1016/j.jalgebra.2004.07.013、MR 2091962、S2CID 119634752およびその中の参照。

参考文献

VI Danilov (2001) [1994]、「モノドロミー」、数学百科事典、EMS Press
「群群とモノドロミー群」、O. Mucuk、B. Kılıçarslan、T. ¸Sahan、N. Alemdar、トポロジーとその応用 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
R.ブラウン「トポロジーと群体」（2006年）。
PJ ヒギンズ、「カテゴリーと群体」、ヴァン・ノストランド (1971) TAC 再版
H. ウォウデク、「モノドロミーグループ」、ビルクホイザーバーゼル、2006 年。土井: 10.1007/3-7643-7536-1

[König2015-1] ケーニッヒ、ヴォルフガング;シュプレケルス、ユルゲン (2015)。 Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – 彼の人生と仕事の側面 (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。 200–201ページ。ISBN 9783658106195. 2017年10月5日閲覧。

[2] VP Kostov (2004)、「デリーニュ・シンプソン問題 — 概観」、J. Algebra、281 (1): 83–108、arXiv : math/0206298、doi :10.1016/j.jalgebra.2004.07.013、MR 2091962、S2CID 119634752およびその中の参照。