相対論物理学で使用される方程式
1905 年にアルバート・アインシュタイン によって定式化された特殊相対性理論は、速度の加算が単純な ベクトルの加算 に従って動作しないことを示唆しています 。 相対論的物理学 において 、 速度加算式は、物体の速度が 光速を 超えてはならないという要件と一致するように物体の速度を組み合わせる方法を指定する方程式です 。このような式は連続する ローレンツ変換に適用されるため、異なるフレームも関連付けられます。速度加算に伴うのは トーマス歳差運動 と呼ばれる運動学的効果で 、これにより連続する非共線的なローレンツブーストは、座標系の回転とブーストの組み合わせと同等になります。
速度加算公式の標準的な応用としては、 ドップラーシフト 、 ドップラー航法 、 光行差、1851年の フィゾーの実験 で観測された流水中での光引きずりなどがある 。 [1]
この表記では、 u をローレンツ系 S 内の物体の速度 、 v を S で測定された 第 2 の系 S ′ の速度、 u ′ を 第 2 の系内の物体の変換された速度として使用します。
歴史 流体中の光速は真空中の光速よりも遅く、流体が光とともに動くと光速も変化します。1851年、 フィゾーは 干渉計を 使用して光と平行に動く流体中の光速を 測定しました。フィゾーの結果は当時主流だった理論とは一致しませんでした。フィゾーは、 相対 論的に正しい加法則の展開のゼロ項を実験的に正しく決定しました。 五 / c 以下に説明するように。フィゾーの結果は、 静止したエーテル に対して運動する流体が 部分的に 光を引きずる、すなわち速度が であるという、フレネルのあまり満足のいかない理論の経験的妥当性を物理学者に受け入れさせることになった。 c / ん + (1 − 1 / 2 位 ) の代わりに V c / ん + V 、ここで c はエーテル中の光の速度、 n は 流体の屈折率 、 V は エーテルに対する流体の速度です。
光の行差は、相対論的速度の加算公式によって最も簡単に説明され、フィゾーの結果とともに、 1892年に電磁気学の ローレンツエーテル理論などの理論の発展を引き起こしました。1905年に アルバート・アインシュタインは 特殊相対性理論 の出現とともに、 相対論的速度の加算の 標準配置公式（ x 方向 の V ）を導きました。 [2] エーテルに関する問題は、年月をかけて徐々に特殊相対性理論に有利に解決されました。
ガリレオの相対性 ガリレオ は、 等速で移動する船に乗っている人は静止している印象を受け、重い物体が垂直に落下するのを見ることを観察しました。 [3] この観察は現在、力学的相対性原理の最初の明確な記述と見なされています。ガリレオは、岸に立っている人の視点から見ると、船上で下向きに落下する動きが船の前進運動と組み合わされるか、または追加されることに気付きました。 [4] 速度の点では、岸に対する落下物体の速度は、その物体の船に対する速度と、岸に対する船の速度の合計に等しいと言えます。
一般に、3つの物体A（例えば、岸にいるガリレオ）、B（例えば、船）、C（例えば、船上の落下物体）の場合、Aに対するCの速度ベクトル（ガリレオから見た落下物体の速度）は 、Bに対するCの 速度（船に対する落下物体の速度）とAに対するBの速度 v （岸から離れる船の速度）の合計です。ここでの加算はベクトル代数のベクトル加算であり、結果として得られる速度は通常、次の形式で表されます。
あなた
{\displaystyle \mathbf {u} }
あなた ′
{\displaystyle \mathbf {u'} }
あなた
=
ヴ
+
あなた ′
。
{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}
ガリレオの宇宙は 絶対空間と絶対時間 から成り、速度の加算は ガリレイ変換 の合成に対応します。相対性原理は ガリレイの相対性と呼ばれます。これは ニュートン力学 によって従われます 。
特殊相対性理論 特殊相対性理論 によれば 、船のフレームは異なるクロックレートと距離の尺度を持ち、運動方向の同時性の概念が変化するため、速度の加法則が変わります。この変化は低速では目立ちませんが、速度が光速に近づくにつれて重要になります。加法則は、 速度の合成法則 とも呼ばれます。共線運動の場合、 速度 で動いている船から測定された、例えば水平に海に向かって発射された砲弾などの物体の速度は、 岸に立って望遠鏡でその光景全体を見ている人には次のように測定されます。 [5]
合成式は代数的に等価な形を取ることができ、光速度不変の原理のみを使用して簡単に導くことができます。 [6]
特殊相対性理論の宇宙は ミンコフスキー時空 で構成され、速度の加法は ローレンツ変換 の合成に対応します。特殊相対性理論では、ニュートン力学が 相対論的力学 に修正されます。
あなた ′
{\displaystyle u'}
ヴ
{\displaystyle v}
あなた =
ヴ +
あなた ′
1 + （ ヴ
あなた ′
/
c
2
）
。
{\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}。}
c − あなた
c + あなた
=
（
c −
あなた ′
c +
あなた ′
）
（
c − ヴ
c + ヴ
）
。
{\displaystyle {cu \over c+u}=\left({cu' \over c+u'}\right)\left({cv \over c+v}\right).}
標準構成 標準構成 でのブーストの式は、標準構成での 逆ローレンツ ブーストの微分を取ることで最も簡単に得られる 。 [7] [8]プライムフレームが、プライムされていないフレームに対して、 ローレンツ係数 の速度 で正の x 方向 に移動している場合 、微分は次のようになる。
ヴ
{\displaystyle v}
γ
ヴ
= 1
/
1 −
ヴ
2
/
c
2
{\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
d x =
γ
ヴ
（ d
x ′
+ ヴ d
t ′
） 、 d ええ = d
ええ ′
、 d ず = d
ず ′
、 d t =
γ
ヴ
（
d
t ′
+
ヴ
c
2
d
x ′
）
。
{\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}
最初の3つの方程式を4番目の方程式で割ります。
d x
d t
=
γ
ヴ
（ d
x ′
+ ヴ d
t ′
）
γ
ヴ
（ d
t ′
+
ヴ
c
2
d
x ′
）
、
d ええ
d t
=
d
ええ ′
γ
ヴ
（ d
t ′
+
ヴ
c
2
d
x ′
）
、
d ず
d t
=
d
ず ′
γ
ヴ
（ d
t ′
+
ヴ
c
2
d
x ′
）
、
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},}
または
あなた
x
=
d x
d t
=
d
x ′
d
t ′
+ ヴ
（ 1 +
ヴ
c
2
d
x ′
d
t ′
）
、
あなた
ええ
=
d ええ
d t
=
d
ええ ′
d
t ′
γ
ヴ
（ 1 +
ヴ
c
2
d
x ′
d
t ′
）
、
あなた
ず
=
d ず
d t
=
d
ず ′
d
t ′
γ
ヴ
（ 1 +
ヴ
c
2
d
x ′
d
t ′
）
、
{\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}
それは
ここで、プライム付きの速度の式は、 vを -v に置き換え、プライム付きとプライムなしの座標を入れ替えることで標準的な方法を使用して得られました。すべての速度が（共通の） x - y 平面にあるように座標が選択されると、 速度 は次のように表すことができます
（ 極座標を 参照）。 [2] [9]
あなた
x
= あなた コス θ 、
あなた
ええ
= あなた 罪 θ 、
あなた
x
′
=
あなた ′
コス
θ ′
、
あなた
ええ
′
=
あなた ′
罪
θ ′
、
{\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u '\sin \theta ',}
速度の変換 （ 平面極成分 ）
あなた =
あなた
′
2
+
ヴ
2
+ 2 ヴ
あなた ′
コス
θ ′
−
（
ヴ
あなた ′
罪
θ ′
c
）
2
1 +
ヴ
c
2
あなた ′
コス
θ ′
、
{\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}
日焼け θ =
あなた
ええ
あなた
x
=
1 −
ヴ
2
c
2
あなた
ええ
′
あなた
x
′
+ ヴ
=
1 −
ヴ
2
c
2
あなた ′
罪
θ ′
あなた ′
コス
θ ′
+ ヴ
。
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}
uの詳細
あなた
=
あなた
x
2
+
あなた
ええ
2
=
（
あなた
x
′
+ ヴ
）
2
+ （ 1 −
ヴ
2
c
2
）
あなた
ええ
′
2
1 +
ヴ
c
2
あなた
x
′
=
あなた
x
′
2
+
ヴ
2
+ 2
あなた
x
′
ヴ + （ 1 −
ヴ
2
c
2
）
あなた
ええ
′
2
1 +
ヴ
c
2
あなた
x
′
=
あなた
′
2
コス
2
θ ′
+
ヴ
2
+ 2 ヴ
あなた ′
コス
θ ′
+
あなた
′
2
罪
2
θ ′
−
ヴ
2
c
2
あなた
′
2
罪
2
θ ′
1 +
ヴ
c
2
あなた
x
′
=
あなた
′
2
+
ヴ
2
+ 2 ヴ
あなた ′
コス
θ ′
− （
ヴ
あなた ′
罪
θ ′
c
）
2
1 +
ヴ
c
2
あなた ′
コス
θ ′
{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}}
与えられた証明は非常に形式的です。 以下のような、より分かりやすい、より複雑な証明も存在します。
4 ベクトルとローレンツ変換行列 を用いた証明 相対論的変換は、平面上の幾何学的回転が x 軸と y 軸を回転させるのと同じように、空間と時間を互いに回転させるものであるため、空間と時間に同じ単位を使用すると便利です。そうでない場合は、相対論的式全体で単位変換係数、つまり 光速が 使用されます。長さと時間が同じ単位で測定されるシステムでは、光速は無次元で 1 に等しくなります。速度は光速の割合として表されます。
相対論的変換則を見つけるには、4 つの速度 V = ( V 0 、 V 1 、 0、 0) （これは岸から測った船の岸から離れる動き）と U′ = ( U′ 0 、 U′ 1 、 U′ 2 、 U′ 3 ) （これは船から測った船から離れるハエの動き）を導入すると便利です。4 つの速度は、 相対論的長さが 1 に 等しく 、未来方向に向き、 時空内の物体の 世界線に接する 4 次元ベクトル として定義されます。ここで、 V 0 は 岸から見た船の速度の 時間成分に対応し、 V 1 は船の速度の x 成分に対応します。 x 軸を船が岸から離れる方向とし、 y 軸を船とハエの動きが張る平面が x – y 平面となるようにすると便利です。 この結果、速度のいくつかの成分はゼロになります:
V 2 = V 3 = U′ 3 = 0
通常の速度は、空間座標が増加する速度と時間座標が増加する速度の比です。
v
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
=
(
V
1
/
V
0
,
0
,
0
)
,
u
′
=
(
u
1
′
,
u
2
′
,
u
3
′
)
=
(
U
1
′
/
U
0
′
,
U
2
′
/
U
0
′
,
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}}
V の相対
論
的長さは 1 なので 、
V
0
2
−
V
1
2
=
1
,
{\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,}
V
0
=
1
/
1
−
v
1
2
=
γ
,
V
1
=
v
1
/
1
−
v
1
2
=
v
1
γ
.
{\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}
船体フレームで測定された速度を陸上フレームに変換するローレンツ変換行列は、 ローレンツ変換 ページで説明されている変換の 逆で あるため、そこに表示されるマイナス記号をここで反転する必要があります。
(
γ
v
1
γ
0
0
v
1
γ
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
この行列は、純粋な時間軸ベクトル (1, 0, 0, 0)を ( V 0 , V 1 , 0, 0) に回転し 、そのすべての列は互いに相対的に直交するため、ローレンツ変換を定義します。
ハエが船のフレームで4速度 U′ で動いていて、上の行列を乗じて加速されている場合、陸上フレームの新しい4速度は U = ( U 0 、 U 1 、 U 2 、 U 3 ) です。
U
0
=
V
0
U
0
′
+
V
1
U
1
′
,
U
1
=
V
1
U
0
′
+
V
0
U
1
′
,
U
2
=
U
2
′
,
U
3
=
U
3
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}}
時間成分 U 0 で割り、4ベクトル U′ と Vの成分を3ベクトル u′ と v の成分で代入すると、 相対論的合成法則は次のようになる。
u
1
=
v
1
+
u
1
′
1
+
v
1
u
1
′
,
u
2
=
u
2
′
(
1
+
v
1
u
1
′
)
1
V
0
=
u
2
′
1
+
v
1
u
1
′
1
−
v
1
2
,
u
3
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}}
相対論的合成法則の形は、離れた場所での同時性の失敗の影響として理解できます。平行成分の場合、時間の遅れによって速度が低下し、長さの収縮によって速度が増加し、2 つの効果は相殺されます。同時性の失敗とは、ハエが u′の v への投影として同時性のスライスを変更していることを意味します。この効果は完全に時間のスライスによるものであるため、同じ係数が垂直成分に乗算されますが、垂直成分では長さの収縮がないため、時間の遅れは の係数で乗算されます。 1 / 0 です = √ (1 − v 1 2 ) .
一般的な構成 3 次元速度 u を平行成分と垂直成分に分解し、各成分を計算します。u ′ の手順も 同じ です。 x 軸 に平行な v の座標における表現から始めて 、垂直成分と平行成分の表現を次のようにベクトル形式に変換することができます。これは、元々標準構成にあった他の 3D 物理量のローレンツ変換にも使えるトリックです。 プライムなしのフレームに速度ベクトル u を導入し、プライムありのフレームに u ′ を導入し、それらを相対速度ベクトル v に平行 (‖) および垂直 (⊥) の成分に分割します (以下の非表示ボックスを参照)。次に
、通常の 直交座標の標準基底ベクトル e x 、 e y 、 e z を使用して、プライムなしのフレームでの速度を に設定します。これ
により
、標準構成の結果を使用すると、次の式が得られます
。
ここで、 ·は ドット積 です。これらはベクトル方程式であるため、 どの 方向の v についても同じ形式になります。座標表現との唯一の違いは、上記の表現が成分ではなく ベクトル を参照することです 。
u
=
u
∥
+
u
⊥
,
u
′
=
u
∥
′
+
u
⊥
′
,
{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },}
u
∥
=
u
x
e
x
,
u
⊥
=
u
y
e
y
+
u
z
e
z
,
v
=
v
e
x
,
{\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},}
u
∥
=
u
∥
′
+
v
1
+
v
⋅
u
∥
′
c
2
,
u
⊥
=
1
−
v
2
c
2
u
⊥
′
1
+
v
⋅
u
∥
′
c
2
.
{\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}
α v = 1/ γ v
は ローレンツ因子 の逆数です 。定義におけるオペランドの順序は、式が導出される標準構成の順序と一致するように選択されます
。
u
=
u
∥
+
u
⊥
=
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
[
α
v
u
′
+
v
+
(
1
−
α
v
)
(
v
⋅
u
′
)
v
2
v
]
≡
v
⊕
u
′
,
{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}
代数
u
∥
′
+
v
1
+
v
⋅
u
′
c
2
+
α
v
u
⊥
′
1
+
v
⋅
u
′
c
2
=
v
+
v
⋅
u
′
v
2
v
1
+
v
⋅
u
′
c
2
+
α
v
u
′
−
α
v
v
⋅
u
′
v
2
v
1
+
v
⋅
u
′
c
2
=
1
+
v
⋅
u
′
v
2
(
1
−
α
v
)
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
+
α
v
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
u
′
=
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
+
α
v
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
u
′
+
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
⋅
u
′
v
2
(
1
−
α
v
)
v
=
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
+
α
v
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
u
′
+
1
c
2
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
⋅
u
′
v
2
/
c
2
(
1
−
α
v
)
v
=
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
+
α
v
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
u
′
+
1
c
2
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
v
⋅
u
′
(
1
−
α
v
)
(
1
+
α
v
)
(
1
−
α
v
)
v
=
1
1
+
v
⋅
u
′
c
2
[
α
v
u
′
+
v
+
(
1
−
α
v
)
(
v
⋅
u
′
)
v
2
v
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}
V に関して平行成分と垂直成分に分解する
各ベクトルの平行成分または垂直成分のいずれかを見つける必要があります。これは、他の成分は完全なベクトルの置換によって除去されるためです。
u ′ の平行成分は、 ベクトル全体を 相対運動の方向に
投影する ことで求められ、 u ′
の垂直成分は 外積 の幾何学的特性によって求められます （右上の図を参照）。
u
∥
′
=
v
⋅
u
′
v
2
v
,
{\displaystyle \mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,}
u
⊥
′
=
−
v
×
(
v
×
u
′
)
v
2
.
{\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.}
いずれの場合も、 v / v は 相対運動の方向の
単位ベクトル です。
u ⊥ と u ⊥ の式も 同様に求められます。平行成分を代入すると、
u
=
u
∥
′
+
v
1
+
v
⋅
u
∥
′
c
2
+
1
−
v
2
c
2
(
u
−
u
∥
′
)
1
+
v
⋅
u
∥
′
c
2
,
{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},}
上記の式が得られる。 [10]
と における恒等式を用いると 、 [11] [nb 1]
α
v
{\displaystyle \alpha _{v}}
γ
v
{\displaystyle \gamma _{v}}
v
⊕
u
′
≡
u
=
1
1
+
u
′
⋅
v
c
2
[
v
+
u
′
γ
v
+
1
c
2
γ
v
1
+
γ
v
(
u
′
⋅
v
)
v
]
=
1
1
+
u
′
⋅
v
c
2
[
v
+
u
′
+
1
c
2
γ
v
1
+
γ
v
v
×
(
v
×
u
′
)
]
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}
そして前方（v正、S→S'）方向では
v
⊕
u
≡
u
′
=
1
1
−
u
⋅
v
c
2
[
u
γ
v
−
v
+
1
c
2
γ
v
1
+
γ
v
(
u
⋅
v
)
v
]
=
1
1
−
u
⋅
v
c
2
[
u
−
v
+
1
c
2
γ
v
1
+
γ
v
v
×
(
v
×
u
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}
ここで、最後の式は、標準的な ベクトル解析式 v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u です。最初の式は任意の数の空間次元に拡張されますが、 外積は 3 次元でのみ定義されます。Aに対して 速度 v を持つ B と A に対して 速度 u を持つ C の オブジェクト A 、 B 、 Cは何でもかまいません。特に、3 つのフレームである場合もあれば、実験室、崩壊粒子、崩壊粒子の崩壊生成物の 1 つである場合もあります。
プロパティ 相対論的な3速度の加算は 非線形 なので、一般に
実数 λ
に対して は、
(
λ
v
)
⊕
(
λ
u
)
≠
λ
(
v
⊕
u
)
,
{\displaystyle (\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}
(
−
v
)
⊕
(
−
u
)
=
−
(
v
⊕
u
)
,
{\displaystyle (-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}
また、最後の項により、一般には 交換法則
も 結合法則も成り立たない。
v
⊕
u
≠
u
⊕
v
,
{\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,}
v
⊕
(
u
⊕
w
)
≠
(
v
⊕
u
)
⊕
w
.
{\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}
特筆すべき点として、 u と v′ が 一対の平行フレーム（プライム付きフレームと非プライム付きフレーム、および二重プライム付きフレームとプライム付きフレーム）の速度を指す場合、アインシュタインの速度の相互性原理によれば、非プライムフレームはプライム付きフレームに対して速度 − u で移動し、プライム付きフレーム は二重プライム付きフレームに対して速度 − v′ で移動するため、（ − v ′ ⊕ − u ） は非プライムフレームの二重プライム付きフレームに対する速度となり、相互性原理を単純に適用すると u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) となることが期待できます。しかし、大きさは等しいものの、これは成り立ちません。非プライムフレームと二重プライムフレームは平行で はなく、回転によって関連しています。これは トーマス歳差運動 の現象に関連し 、ここではこれ以上扱いません。
基準は [12] で与えられ
、
|
u
|
2
≡
|
v
⊕
u
′
|
2
=
1
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
[
(
v
+
u
′
)
2
−
1
c
2
(
v
×
u
′
)
2
]
=
|
u
′
⊕
v
|
2
.
{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}
|
u
′
|
2
≡
|
v
⊕
u
|
2
=
1
(
1
−
v
⋅
u
c
2
)
2
[
(
u
−
v
)
2
−
1
c
2
(
v
×
u
)
2
]
=
|
u
⊕
v
|
2
.
{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}
証拠
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
|
v
⊕
u
′
|
2
=
[
v
+
u
′
+
1
c
2
γ
v
1
+
γ
v
v
×
(
v
×
u
′
)
]
2
=
(
v
+
u
′
)
2
+
2
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
+
1
c
4
(
γ
v
γ
v
+
1
)
2
[
(
v
⋅
v
)
2
(
u
′
⋅
u
′
)
−
(
v
⋅
u
′
)
2
(
v
⋅
v
)
]
=
(
v
+
u
′
)
2
+
2
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
+
v
2
c
4
(
γ
v
γ
v
+
1
)
2
[
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
−
(
v
⋅
u
′
)
2
]
=
(
v
+
u
′
)
2
+
2
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
+
(
1
−
α
v
)
(
1
+
α
v
)
c
2
(
γ
v
γ
v
+
1
)
2
[
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
−
(
v
⋅
u
′
)
2
]
=
(
v
+
u
′
)
2
+
2
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
+
(
γ
v
−
1
)
c
2
(
γ
v
+
1
)
[
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
−
(
v
⋅
u
′
)
2
]
=
(
v
+
u
′
)
2
+
2
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
+
(
1
−
γ
v
)
c
2
(
γ
v
+
1
)
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
=
(
v
+
u
′
)
2
+
1
c
2
γ
v
+
1
γ
v
+
1
[
(
v
⋅
u
′
)
2
−
(
v
⋅
v
)
(
u
′
⋅
u
′
)
]
=
(
v
+
u
′
)
2
−
1
c
2
|
v
×
u
′
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}
逆の式は、 v を − v に 、 uを u ′ に 置き換える 標準的な手順
を使用して見つけられます 。
2 つのブーストが関係する場合、ノルムの二乗はブーストの両方の順序で同じであるため、非可換性は 座標フレームの
追加の 回転として現れることは明らかです。
合成速度のガンマ係数は次のように計算される。
γ
u
=
γ
v
⊕
u
′
=
[
1
−
1
c
2
1
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
(
(
v
+
u
′
)
2
−
1
c
2
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
)
]
−
1
2
=
γ
v
γ
u
′
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
,
γ
u
′
=
γ
v
γ
u
(
1
−
v
⋅
u
c
2
)
{\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}
詳細な証明
γ
v
⊕
u
′
=
[
c
3
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
c
2
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
−
1
c
2
(
v
+
u
′
)
2
−
1
c
2
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
c
2
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
−
(
v
+
u
′
)
2
+
1
c
2
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
c
2
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
c
2
(
1
+
2
v
⋅
u
′
c
2
+
(
v
⋅
u
′
)
2
c
4
)
−
v
2
−
u
′
2
−
2
(
v
⋅
u
′
)
+
1
c
2
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
c
2
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
1
+
2
v
⋅
u
′
c
2
+
(
v
⋅
u
′
)
2
c
4
−
v
2
c
2
−
u
′
2
c
2
−
2
c
2
(
v
⋅
u
′
)
+
1
c
4
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
1
+
(
v
⋅
u
′
)
2
c
4
−
v
2
c
2
−
u
′
2
c
2
+
1
c
4
(
v
2
u
′
2
−
(
v
⋅
u
′
)
2
)
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
(
1
−
v
2
c
2
)
(
1
−
u
′
2
c
2
)
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
[
1
γ
v
2
γ
u
′
2
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
2
]
−
1
2
=
γ
v
γ
u
′
(
1
+
v
⋅
u
′
c
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}
逆の式は、 v を − v に 、 uを u ′ に 置き換える 標準的な手順 を使用して見つけられます 。
表記規則 速度の加算の表記法と規則は著者によって異なります。演算や関連する速度に異なる記号が使用される場合があり、同じ式でオペランドが入れ替わったり、同じ速度で記号が入れ替わったりする場合があります。ここで使用されているプライムではなく、変換された速度に完全に別の記号が使用される場合もあります。速度の加算は非可換であるため、結果を変えずにオペランドまたは記号を切り替えることはできません。
代替表記の例としては次のようなものがあります。
特定のオペランドなし Landau & Lifshitz (2002) ( c = 1 の単位を使用)
|
v
r
e
l
|
2
=
1
(
1
−
v
1
⋅
v
2
)
2
[
(
v
1
−
v
2
)
2
−
(
v
1
×
v
2
)
2
]
{\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}
オペランドの左から右への順序 モカヌ（1992） ウンガー（1988）
u
⊕
v
=
1
1
+
u
⋅
v
c
2
[
v
+
u
+
1
c
2
γ
u
γ
u
+
1
u
×
(
u
×
v
)
]
{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}
u
∗
v
=
1
1
+
u
⋅
v
c
2
[
v
+
u
+
1
c
2
γ
u
γ
u
+
1
u
×
(
u
×
v
)
]
{\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}
オペランドの右から左への順序 セクセル＆アーバントケ（2001）
w
∘
v
=
1
1
+
v
⋅
w
c
2
[
w
γ
v
+
v
+
1
c
2
γ
v
γ
v
+
1
(
w
⋅
v
)
v
]
{\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}
アプリケーション 速度加法公式のドップラーシフト、光の行間変化、流水中の光の引きずりに対する古典的な応用例を以下に詳述します。これらの現象に対して相対論的に有効な式が得られます。また、運動量保存則（通常の回転不変性による）を仮定し、運動 量 4 ベクトルの 3 ベクトル部分の正しい形式である速度加法公式を 、電磁気学や、事前に有効かどうかわからない相対論的バージョンの ラグランジアン形式論 に頼ることなく使用することも可能です。これには、実験者が相対論的ビリヤードのボールを互いに跳ね返すことが含まれます。これはここでは詳しく説明しません。参考として、Lewis & Tolman (1909) Wikisource バージョン（一次ソース）および Sard (1970、セクション 3.2) を参照してください。
フィゾーの実験 フランスの物理学者イポリット・フィゾー （1819年 - 1896年）は、1851年に初めて流水中の光の速度を測定した。 光が媒体中を伝播するとき、その速度は媒体の静止系では c m = に低下します。 c / n m 、ここで n m は 媒質 m の屈折率 である 正の x方向に速度 V で均一に移動する媒質中の光速は、 速度加算式によって直接与えられる。順方向（標準構成、屈折率 mが n に ）の場合、次の式が得られる。 [13]
c
m
=
V
+
c
m
′
1
+
V
c
m
′
c
2
=
V
+
c
n
1
+
V
c
n
c
2
=
c
n
1
+
n
V
c
1
+
V
n
c
=
c
n
(
1
+
n
V
c
)
1
1
+
V
n
c
=
(
c
n
+
V
)
(
1
−
V
n
c
+
(
V
n
c
)
2
−
⋯
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}
最大の寄与を明示的に集めて、
フィゾーは最初の3つの項を発見した。 [14] [15] 古典的な結果は最初の2つの項である。
c
m
=
c
n
+
V
(
1
−
1
n
2
−
V
n
c
+
⋯
)
.
{\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).}
光の異常 もう一つの基本的な応用は、平行軸を持つ新しい基準フレームに変換するときの光の偏差、つまり方向の変化を考慮することです。これは 光収差 と呼ばれます。この場合、 v ′ = v = c であり、 tan θ の式に代入すると次の ようになります。
tan
θ
=
1
−
V
2
c
2
c
sin
θ
′
c
cos
θ
′
+
V
=
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
cos
θ
′
+
V
c
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}
この場合、sinθ と cosθ は 標準 の公式 [16] から計算できる。
sin
θ
=
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
1
+
V
c
cos
θ
′
,
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}
三角法
v
y
v
=
1
−
V
2
c
2
v
y
′
1
+
V
c
2
v
x
′
v
′
2
+
V
2
+
2
V
v
′
cos
θ
′
−
(
V
v
′
sin
θ
′
c
)
2
1
+
V
c
2
v
′
cos
θ
′
=
c
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
c
2
+
V
2
+
2
V
c
cos
θ
′
−
V
2
sin
2
θ
′
=
c
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
c
2
+
V
2
+
2
V
c
cos
θ
′
−
V
2
(
1
−
cos
2
θ
′
)
=
c
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
c
2
+
2
V
c
cos
θ
′
+
V
2
cos
2
θ
′
=
1
−
V
2
c
2
sin
θ
′
1
+
V
c
cos
θ
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}
cos
θ
=
V
c
+
cos
θ
′
1
+
V
c
cos
θ
′
,
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}
ジェームズ・ブラッドリー （1693–1762） FRSは 、古典的なレベルでは正しい光行差の説明を提供したが、 [17]これは19世紀に広まった エーテル の存在に基づく理論とは矛盾していた 。 三角関数の操作は、 cosの場合も sin の場合も本質的に同じです 。違いを考えてみましょう。
sin
θ
−
sin
θ
′
=
sin
θ
′
(
1
−
V
2
c
2
1
+
V
c
cos
θ
′
−
1
)
≈
sin
θ
′
(
1
−
V
c
cos
θ
′
−
1
)
=
−
V
c
sin
θ
′
cos
θ
′
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}}
正しい順序 ヴ / c . 小さな角度の近似値を求めるために三角関数の公式を用いる。
ここで cos
sin
θ
′
−
sin
θ
=
2
sin
1
2
(
θ
′
−
θ
)
cos
1
2
(
θ
+
θ
′
)
≈
(
θ
′
−
θ
)
cos
θ
′
,
{\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',}
1 / 2 ( θ + θ ’) ≈ cos θ ’、sin 1 / 2 ( θ − θ ′) ≈ 1 / 2 ( θ − θ ') が使用されました。
したがって、古典的な収差角の
量 は
、極限で得られます
Δ
θ
≡
θ
′
−
θ
=
V
c
sin
θ
′
,
{\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}
五 / c → 0 .
相対論的ドップラーシフト クリスティアン・ドップラー （1803年 - 1853年）はオーストリアの数学者および物理学者であり、観測される波の周波数は発生源と観測者の相対速度に依存することを発見しました。 ここでは、一般 性を高めるため、また一見場当たり的に見える マイナス 記号の導入を避けるために、速度 ではなく 速度成分を 使用します。ここで発生するマイナス記号は、光速よりも遅い速度を考慮するときに特徴を明らかにするのに役立ちます。
真空中の光波の場合、 時間の遅れ と単純な幾何学的観測のみで、標準構成（放射源と観測者、および観測された光波の共線相対速度）でのドップラーシフトを計算するのに十分です。
以下で説明するすべての速度は、共通の正の x 方向 に平行であるため、速度成分の添え字は省略されます。観測者フレームでは、幾何学的観測を
2 つのパルス (波頭) 間の
空間距離、つまり 波長として導入します。ここで、 T は 2 つのパルスの放出間の経過時間です。 空間内の同じ点における2 つのパルスの通過間の経過時間は 時間周期 τ であり 、その逆数は ν =
λ
=
−
s
T
+
V
T
=
(
−
s
+
V
)
T
{\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}
1 / τ は 観測された（時間的な） 周波数 である。エミッターフレーム内の対応する量には素数が付与される。 [18]
光波の場合
、観測される周波数は [2] [19] [20] であり
、ここで T = γV T ′ は 標準的な 時間の遅れの 公式である。
s
=
s
′
=
−
c
,
{\displaystyle s=s'=-c,}
ν
=
−
s
λ
=
−
s
(
V
−
s
)
T
=
c
(
V
+
c
)
γ
V
T
′
=
ν
′
c
1
−
V
2
c
2
c
+
V
=
ν
′
1
−
β
1
+
β
.
{\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}
代わりに、波が速度c の光波ではなく 、視覚化を容易にするために、相対論的な機関銃から発射された弾丸で、発射体のフレーム内で速度 s ′ で構成されていると仮定します。その場合、一般に、幾何学的な観察は 正確に同じです 。しかし、今度は s ′ ≠ s であり、 s は 速度の加算によって与えられます。
s
=
s
′
+
V
1
+
s
′
V
c
2
.
{\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}
計算は基本的に同じですが、ここでは逆さまにして τ = とするとより簡単に実行できます。 1 / ν ν の
代わりに
τ
=
1
γ
V
ν
′
(
1
1
+
V
s
′
)
,
ν
=
γ
V
ν
′
(
1
+
V
s
′
)
{\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)}
導出の詳細
L
−
s
=
(
−
s
′
−
V
1
+
s
′
V
c
2
+
V
)
T
−
s
′
−
V
1
+
s
′
V
c
2
=
γ
V
ν
′
−
s
′
−
V
+
V
(
1
+
s
′
V
c
2
)
−
s
′
−
V
=
γ
V
ν
′
(
s
′
(
1
−
V
2
c
2
)
s
′
+
V
)
=
γ
V
ν
′
(
s
′
γ
−
2
s
′
+
V
)
=
1
γ
V
ν
′
(
1
1
+
V
s
′
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}
典型的なケースでは、 入ってくる s ′ は 負である ことに注目してください。しかし、この式は一般的に有効です。 [注 2] s ′ = − c のとき 、この式は上記の光波に対して直接計算された式に簡略化されます。
ν
=
ν
′
γ
V
(
1
−
β
)
=
ν
′
1
−
β
1
−
β
1
+
β
=
ν
′
1
−
β
1
+
β
.
{\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}
発射体が空の空間に弾丸を発射するのではなく、媒体に波を発射する場合でも、 式は適用されますが、まず媒体に対する発射体の速度から s ′ を 計算する必要があるかもしれません 。
発光体の場合に戻ると、観測者と発光体が同一直線上にない場合、結果はほとんど変わりません。 [2] [21] [22]
ここで、 θ は発光体と観測者の間の角度です。これは、 θ = 0 のときの同一直線運動に対する前述の結果に帰着しますが、 θ = π /2 に対応する横方向の運動の場合 、周波数は ローレンツ因子 だけシフトします。これは古典的な光ドップラー効果では発生しません。
ν
=
γ
V
ν
′
(
1
+
V
s
′
cos
θ
)
,
{\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),}
双曲幾何学 関数 sinh 、 cosh 、 tanh 。関数 tanh は、 ラピディティ −∞ < ς < +∞ と相対論的速度 −1 < β < +1 を関連付けます。 物体の 相対論的速度に関連する量は 、そのノルムが ラピディティ と呼ばれる量である。これらは を通じて関連しており、
ここでベクトルは、 ブースト生成子 によって張られるローレンツ群の リー代数 の 3 次元部分空間上の 直交座標 であると考えられる。この空間は ラピディティ空間 と呼ばれ 、ベクトル空間として ℝ 3 に 同型で あり、上記の関係を介して、開単位球、速度空間 にマッピングされます
。 [ 23 ]共線形式上の加法則は、 双曲正接 の加法則と一致し
、
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
ζ
{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}
s
o
(
3
,
1
)
⊃
s
p
a
n
{
K
1
,
K
2
,
K
3
}
≈
R
3
∋
ζ
=
β
^
tanh
−
1
β
,
β
∈
B
3
,
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}
ζ
{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}
s
o
(
3
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}
K
1
,
K
2
,
K
3
{\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}
B
3
{\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}
tanh
(
ζ
v
+
ζ
u
′
)
=
tanh
ζ
v
+
tanh
ζ
u
′
1
+
tanh
ζ
v
tanh
ζ
u
′
{\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}}
v
c
=
tanh
ζ
v
,
u
′
c
=
tanh
ζ
u
′
,
u
c
=
tanh
(
ζ
v
+
ζ
u
′
)
.
{\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}
速度空間の 線 要素は 、任意の系における 相対論的相対速度 の式から得られます。 [24]
ここで、光速は 1 に設定され、 と は 一致します。この式では、 と は 任意の 1 つの系における 2 つの物体の速度です。量は、 与えられた系 で 見られる、 一方または他方の物体の、他方の物体に対する 相対的な 速度です。この式はローレンツ不変、つまりどの系が与えられた系であるかには依存しませんが、計算される量は では ありません 。たとえば、与えられた系が物体 1 の静止系である場合、 となります 。
B
3
{\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}
v
r
=
(
v
1
−
v
2
)
2
−
(
v
1
×
v
2
)
2
1
−
v
1
⋅
v
2
,
{\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},}
v
i
{\displaystyle v_{i}}
β
i
{\displaystyle \beta _{i}}
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
v
r
{\displaystyle v_{r}}
v
r
=
v
2
{\displaystyle v_{r}=v_{2}}
線要素は、 または同等にを置くことによって見つけられ 、 [25] θ と φは z 方向に取られた 通常の球面角座標
である 。ここで ζ を 導入する
と、ラピディティ空間上の線要素は 次のようになる。
v
2
=
v
1
+
d
v
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} }
β
2
=
β
1
+
d
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}}
d
l
β
2
=
d
β
2
−
(
β
×
d
β
)
2
(
1
−
β
2
)
2
=
d
β
2
(
1
−
β
2
)
2
+
β
2
1
−
β
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
φ
2
)
,
{\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),}
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
ζ
=
|
ζ
|
=
tanh
−
1
β
,
{\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
d
l
ζ
2
=
d
ζ
2
+
sinh
2
ζ
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
φ
2
)
.
{\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}
相対論的粒子衝突 散乱実験における主な目的は、 不変散乱断面積 を測定することである。これは、2種類の粒子が2つ以上の粒子を持つと仮定された 最終状態に散乱するための式を入力する。 [26]
または、ほとんどの教科書では
、
f
{\displaystyle f}
d
N
f
=
R
f
d
V
d
t
=
σ
F
d
V
d
t
{\displaystyle dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt}
d
N
f
=
σ
n
1
n
2
v
r
d
V
d
t
{\displaystyle dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt}
d
V
d
t
{\displaystyle dVdt}
時空体積です。これはローレンツ変換に対して不変です。
d
N
f
{\displaystyle dN_{f}}
は、時空体積における 最終状態をもたらす反応の総数です。数値であるため、 同じ 時空体積を考慮する と不変です。
f
{\displaystyle f}
d
V
d
t
{\displaystyle dVdt}
R
f
=
F
σ
{\displaystyle R_{f}=F\sigma }
は、単位時空あたりの 最終状態に至る反応の数、つまり 反応速度 です。これは不変です。
f
{\displaystyle f}
F
=
n
1
n
2
v
r
{\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}
は入射フラックス と呼ばれます 。これは不変である必要がありますが、最も一般的な設定では不変ではありません。
σ
{\displaystyle \sigma }
は散乱断面積です。不変である必要があります。
n
1
,
n
2
{\displaystyle n_{1},n_{2}}
は入射ビーム内の粒子密度です。 長さの収縮 により明らかなように、これらは不変ではありません。
v
r
=
|
v
2
−
v
1
|
{\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}
は2つの入射ビームの 相対速度 です。 は 不変であることが要求される ため、これは不変には なりません。
F
=
n
1
n
2
v
r
{\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}
目的は、相対論的な相対速度 の正しい表現 と入射フラックスの不変表現を見つけることです。
v
rel
{\displaystyle v_{\text{rel}}}
非相対論的には、相対速度 が成り立つ 。速度を測定する系が粒子型 の静止系である場合 、 が成り立つことが必要である。 光速 を設定すると 、 の式は、 一般構成 におけるノルムの式（第2式）から直ちに次のように導かれる。 [ 27] [28]
v
r
=
|
v
2
−
v
1
|
{\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}
1
{\displaystyle 1}
v
rel
=
v
r
=
|
v
2
|
.
{\displaystyle v_{\text{rel}}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.}
c
=
1
{\displaystyle c=1}
v
rel
{\displaystyle v_{\text{rel}}}
v
rel
=
(
v
1
−
v
2
)
2
−
(
v
1
×
v
2
)
2
1
−
v
1
⋅
v
2
.
{\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}
この式は古典的極限では 本来あるべき形に簡約され、粒子の静止系では正しい結果を与える。相対速度は、 粒子物理学と量子場理論に関する ほとんどの、おそらく すべての本で 誤って与えられている。 [27] これはほとんど無害である。なぜなら、どちらか一方の粒子タイプが静止しているか、相対運動が共線的である場合、正しい結果は誤った式から得られるからである。この式は不変であるが、明白にそうではない。これを4速度で書き直すと、
v
r
=
|
v
1
−
v
2
|
{\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|}
v
rel
=
(
u
1
⋅
u
2
)
2
−
1
u
1
⋅
u
2
.
{\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.}
1945年にクリスチャン・モラー [29] が発表したフラックスの正しい表現は [30] で与えられている。
F
=
n
1
n
2
(
v
1
−
v
2
)
2
−
(
v
1
×
v
2
)
2
≡
n
1
n
2
v
¯
.
{\displaystyle F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}
共線速度の場合、 であることに注意する。 明らかに ローレンツ不変な表現を得るには、 と 書く 。ここで は 静止系における密度であり、個々の粒子のフラックスについては、 となり、 [31]となる。
F
=
n
1
n
2
|
v
2
−
v
1
|
=
n
1
n
2
v
r
{\displaystyle F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}}
J
i
=
(
n
i
,
n
i
v
i
)
{\displaystyle J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})}
n
i
=
γ
i
n
i
0
{\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}}
n
i
0
{\displaystyle n_{i}^{0}}
F
=
(
J
1
⋅
J
2
)
v
rel
.
{\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.}
文献では、量 と はともに 相対速度と呼ばれています。統計物理学や暗黒物質の文献では、 は モーラー速度 と呼ばれ 、その場合は 相対速度を意味します。真の相対速度はいずれにしても です 。 [31] と の不一致は 関連していますが、ほとんどの場合、速度は共線的です。LHCでは、 交差 角は小さく、約
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}}
v
r
{\displaystyle v_{r}}
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}}
v
r
{\displaystyle v_{r}}
v
rel
{\displaystyle v_{\text{rel}}}
v
rel
{\displaystyle v_{\text{rel}}}
v
r
{\displaystyle v_{r}}
300μradですが、 CERN の古い交差ストレージリングでは 約18°でした。 [32]
迅速に ミンコフスキー（1908）における 光円錐 と 共役双曲線 ラピディティとして解釈される共線速度の場合、和の公式は単純な加算である。ミンコフスキーによれば、与えられた持続時間に対する時間的ベクトル（ zeitartiger Vektor ）は双曲線上に存在する。双曲線は 双曲角 によって描かれ、速度は双曲線上の点を決定するため、特定の速度に関連付けられた ラピディティ と呼ばれる双曲角が存在する。持続時間の単位に対して、 単位双曲線は 基準を提供し、双曲角は加算の下で実数直線と同型の 1 パラメータ群を形成する。速度の加算の公式の形は、双曲角（ラピディティ）を引数とする 双曲正接 関数 tanhで説明できる 。実際、ラピディティの双曲正接は、真空中の光速に対する速度の比である。 [33]
参照
^これらの式は、 α v を v 2 について 反転し 、 2つの平方の差 を適用して得られる。
v 2 = c 2 (1 − α v 2 ) = c 2 (1 − α v )(1 + α v )
となることによって
(1 − α v ) / 2 ページ = 1 / c 2 (1 + α v ) = γv / c 2 (1 + γ v ) .
^ s ′ は 問題が設定されている意味で負であること に注意する 。つまり、正の速度を持つエミッターが、プライミングされていないシステムで観測者に向かって高速の弾丸を発射する。慣例的に、 − s > V は 、 最終 速度 s = − c の結果に従って正の周波数を 生成 するはずである 。したがって、マイナス記号は慣例であるが、標準的なほど非常に自然な慣例である。
式によって周波数が負になる場合もあります。その場合、弾丸は負の x 軸から近づいていると解釈されます。これには 2 つの原因が考えられます。エミッターの正の速度が大きく、弾丸の速度が遅い可能性があります。また、エミッターの負の速度が小さく、弾丸の速度が速い場合もあります。ただし、エミッターの負の速度が大きく、弾丸の速度が遅い場合、周波数は再び正になります。
これらの組み合わせのいくつかが意味を成すためには、エミッターが十分長い時間にわたって弾丸を発射し続け、どの瞬間でもx 軸上のどこにでも等間隔の弾丸が存在するという制限があることが要求されます 。
注記
^ クレップナー & コレンコウ 1978、第 11 章–14 章 ^ abcd アインシュタイン 1905、第 5 章「速度の合成」を参照 ^ ガリレイ 2001 ^ Galilei 1954 ガリレオはこの洞察を利用して、海岸から見た重りの軌道は放物線になることを示しました。 ^ アーフケン、ジョージ (2012). 大学物理学. アカデミックプレス. p. 367. ISBN 978-0-323-14202-1 。 367ページの抜粋 ^ マーミン 2005、37 ページ ^ ランドー＆リフシッツ 2002、13ページ ^ クレップナー&コレンコウ、1978年、p. 457 ^ ジャクソン 1999、531 ページ ^ ラーナー＆トリッグ 1991、1053 ページ ^ フリードマン 2002、pp. 1–21 harvnb error: no target: CITEREFFriedman2002 (help) ^ Landau & Lifshitz 2002, p. 37 式(12.6) これは不変断面積を考慮すると全く違った形で導かれる。 ^ クレップナー&コレンコウ 1978年、p. 474 ^ フィゾー & 1851E harvnb error: no target: CITEREFFizeau1851E (help) ^ フィゾー 1860 harvnb error: no target: CITEREFFizeau1860 (help) ^ ランドー＆リフシッツ 2002、14ページ ^ ブラッドリー 1727–1728 ^ Kleppner & Kolenkow 1978, p. 477 この文献では、 近づいてくる 放射体の速度は 正 とされています 。そのため、符号が異なります。 ^ ティプラー & モスカ 2008、pp. 1328–1329 ^ マンスフィールド＆オサリバン 2011、pp.491-492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 (help) ^ ラーナー＆トリッグ 1991、259ページ ^ パーカー 1993、312 ページ ^ ジャクソン 1999、547 ページ ^ Landau & Lifshitz 2002、式12.6 ^ Landau & Lifshitz 2002、問題 p. 38 ^ カンノーニ 2017、p. 1 ^ カンノーニ 2017、p. 4より ^ ランドー＆リフシッツ 2002 ^ モラー 1945 ^ カンノーニ 2017、8 ページ ^ カンノーニ 2017、13ページ ^ カノーニ 2017、15ページ ^ シルバーシュタイン、ルドヴィク （1914年）。相対性理論。ロンドン：マクミラン社、p.179。
参考文献
Cannoni, Mirco (2017). 「ローレンツ不変相対速度と相対論的二体衝突」。International Journal of Modern Physics A . 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode :2017IJMPA..3230002C. doi :10.1142/S0217751X17300022. S2CID 119223742 – World Scientific 経由 。 アインシュタイン、A. (1905)。 「移動体の電気力学について」 [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 10 (322): 891–921。 Bibcode :1905AnP...322..891E。 土井 ： 10.1002/andp.19053221004 。 フォック、VA (1964)。 空間、時間、重力の理論 （第2版）。エルゼビアサイエンス＆テクノロジー 。ISBN 978-0-08-010061-6 – ScienceDirect 経由。 French, AP (1968)。 特殊相対論 。MIT入門物理学シリーズ。WW Norton & Company。ISBN 978-0-393-09793-1 。 フリードマン、ヤコフ、スカー、ツヴィ (2005)。均質球の物理的応用。ビルクハウザー。pp. 1–21。ISBN 978-0-8176-3339-4 。 ジャクソン、JD (1999) [1962]。「第11章」。 古典電気力学 （ 第3版）。 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ 。ISBN 978-0-471-30932-1 。 （大学院レベル） クレップナー、D .; コレンコウ、RJ ( 1978 ) [1973]。力学入門。ロンドン： マグロウヒル 。ISBN 978-0-07-035048-9 。 (入門レベル) Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. 場の古典理論 . 理論物理学講座. 第2巻 (第4版). Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9 。 （大学院レベル） Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). 物理学百科事典 （第2版）. VHC Publishers, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4 。 マーミン、ND (2005)。『 It 's About Time: アインシュタインの相対性理論を理解する 』プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-12201-4 。 Mocanu, CI (1992). 「相対論的速度合成パラドックスとトーマス回転について」. Found. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode :1992FoPhL...5..443M. doi :10.1007/BF00690425. ISSN 0894-9875. S2CID 122472788. モラー、C. (1945)。 「素粒子理論における特性行列の一般的性質 I」 (PDF) 。 D. KGL ダンスケ ヴィデンスク。セルスク。 Mat.-Fys.メッド 。 23 (1)． パーカー、SP (1993)。マグロウヒル物理学百科事典（第2版）。マグロウヒル 。ISBN 978-0-07-051400-3 。 サード、RD（1970）。 相対論的力学 - 特殊相対論と古典粒子動力学 。ニューヨーク：WAベンジャミン 。ISBN 978-0-8053-8491-8 。 Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. 相対性、粒子群. 場と粒子物理学における特殊相対性理論と相対論的対称性. Springer. pp. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5 。 Tipler, P.; Mosca, G. (2008). 科学者とエンジニアのための物理学 (第 6 版). Freeman. pp. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7 。 Ungar, AA (1988). 「トーマス回転とローレンツ群のパラメータ化」. Foundations of Physics Letters . 1 (1): 57–81. Bibcode :1988FoPhL...1...57U. doi :10.1007/BF00661317. ISSN 0894-9875. S2CID 121240925. 歴史的 ブラッドリー、ジェームズ (1727–1728)。「オックスフォード大学天文学サビリアン教授でFRSのジェームズ・ブラッドリー牧師からエドモンド・ハレー博士への手紙。恒星の新たな運動の発見について」。Phil . Trans. R. Soc. (PDF) 。35 (399–406): 637–661。Bibcode : 1727RSPT ...35..637B。doi : 10.1098/rstl.1727.0064 。 Doppler, C. (1903) [1842]、Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [連星とその他の天の星の色付きの光について ] (ドイツ語)、vol. 2、プラハ：アブハンドルンゲン・デア・ケーニグル。ベーム。 Gesellschaft der Wissenschaften、pp. 465–482 フィゾー、H. (1851F)。 「Sur les hyperthèses親戚 à l'éther lumineux」[光るエーテルに関する仮説]。 Comptes Rendus (フランス語)。 33 : 349–355。 フィゾー、H. ( 1851E)。 「光るエーテルに関する仮説」 。 哲学雑誌 。2 : 568–573。 フィゾー、H. (1859)。 「Sur les hyperthèses親戚 à l'éther lumineux」[光るエーテルに関する仮説]。 アン。チム。物理学。 （フランス語で）。 57 : 385–404。 フィゾー、H. ( 1860)。 「物体の運動が光が通過する速度に与える影響について」 。 哲学雑誌 。19 : 245–260。 ガリレイ、G. (2001) [1632]. 二つの主要な世界システムについての対話 [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ]. スティルマン・ドレイク (編者、翻訳者)、スティーブン・ジェイ・グールド (編者)、JL ハイルブロン (序文)、アルバート・アインシュタイン (序文)。モダン・ライブラリー 。ISBN 978-0-375-75766-2 。 ガリレイ、G. (1954) [1638]。 2 つの新しい科学に関する対話 [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Science ]。ヘンリー・クルー、アルフォンソ・デ・サルヴィオ（翻訳）。デジリード.com。 ISBN 978-1-4209-3815-9 。 Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). 「相対性原理と非ニュートン力学」 Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725. ウィキソース版
外部リンク
ゾンマーフェルト、A. (1909)。 「相対性理論における速度の構成について」[相対性理論における相対性理論における速度の構成]。 そうですね。ドイツ語。物理学。ゲス 。 21 : 577–582。
![{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\Parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \ cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69619ca3017cfb16ce21f2f2d2e8aea8e3d8cbd5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\Parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf { u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1 -\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1} {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+ {\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{ 1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end {整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5c424da36356ae030560300aed8d12fe556d2c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\ mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v }}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4626061e5696673bd8548072f1c7b91eb6e5a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \ cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}( \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v} }{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a3866f450b8fdc5702aed25fb21001564ce506)
![{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{ 2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587953edb063d6ed45750ec75efb725b92a7e837)
![{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \time \mathbf {u} \right)^{2}\right] =|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d9fe963a64c1c9b62d8142e0cc490f4dc5b6ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf { v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2} }}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2} }{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf { v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[( \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2} +2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac { (1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=( \mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \ mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3099c302f1314b31c5c0140eb79ed7954d8b14cc)
![{\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\ frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2 }}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u }\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ead10fe6c4bab9de282a04b882f05ef2cacee8d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} + \mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {う} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{ -{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}( v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v } \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^ {2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\ frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{ 2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\& =\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2} }{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\ \&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v ^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}} \right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}} }\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1} {\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\ right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517c984a1cefc97c3c7ebf655a34dd629258ea59)
![{\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4efaec0156c44dd14c38fd97c5fa40a01a1d1ea)
![{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}} }}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e347b81ede2da9516baed88d841e4000f12b8)
![{\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}} }\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80cd2300be17c80aba4bee954569eb8a76c0d50)
![{\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3e418672bf02f2bee8088bb044a9589d0bd47c)
