ミンコフスキーの疑問符関数

数学において、ミンコフスキーの疑問符関数（ミンコフスキーのけんすうふくしゅう、英: Minkowski's question-mark function ）は、ヘルマン・ミンコフスキーが1904年に定義した、珍しいフラクタル特性を持つ関数である。 ^[1]この関数は、2次無理数を単位区間上で有理数に写像するもので、2次式の連分数展開と有理数の2項展開を関連付ける式を介して表され、 1938年にアルノー・デンジョイによって与えられた。 ^[2]また、この関数は、シュテルン・ブロコット木に密接に関連する再帰的定義からわかるように、有理数を2項有理数に写像する。

疑問符関数を定義する 1 つの方法は、有限または無限の2 進シーケンスを使用して分数を表す 2 つの異なる方法間の対応関係を含みます。最もよく知られているのは、1 つの点記号 "." が付いた 0 と 1 の文字列、たとえば "11.001001000011111..." は、数値の2 進表現として解釈できます。この場合、この数値は ただし、連分数を 使用して同じシーケンスを解釈する別の方法があります。小数部分"0.001001000011111..." を同様に 2 進数として解釈し、連続する 0 または 1 の各ブロックをそのランレングス(または、最初のゼロ ブロックの場合は、そのランレングス + 1) に置き換えます。この場合、シーケンスが生成されます。次に、このシーケンスを連分数の係数として使用します。^{[3] [4]}$${\displaystyle 2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .}$$${\displaystyle [3;3,1,2,1,4,5,\dots ]}$ $${\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 5+\dots }}}}}}}}}}}}\approx 3.2676}$$

疑問符関数はこのプロセスを逆にします。つまり、与えられた実数の連分数をランレングス符号化されたバイナリシーケンスに変換し、そのシーケンスをバイナリ数として再解釈します。^{[3] [4]}たとえば、上記の例では、 です。これを正式に定義すると、無理数が（終端のない）連分数表現を持つ 場合 、 に対する疑問符関数の値は、無限級数の値として定義されます。 同様に、有理数が終端連分数表現を持つ場合、 に対する疑問符関数の値は有限和に減少します。 ${\displaystyle \operatorname {?} (3.2676)\approx \pi }$ ${\displaystyle x}$$${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}$$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

疑問符関数が連分数を 2 進数として再解釈する方法と同様に、カントール関数は3 進数を2 進数として再解釈するものと理解できます。

疑問符は明らかに視覚的に自己相似です。自己相似性のモノイドは、単位正方形に作用する 2 つの演算子SとRによって生成され、次のように定義されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$$

視覚的には、S は単位正方形を左下の 4 分の 1 に縮小し、R は中心を通る 点反射を実行します。

?のグラフ上の点は、単位区間内の何らかのxに対して座標( x , ?( x ))を持ちます。そのような点は、 SとRによってグラフ上の別の点に変換されます。これは、? がすべてのx ∈ [0, 1]に対して次の恒等式を満たすためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$$

これら2つの演算子は繰り返して組み合わせることができ、モノイドを形成する。モノイドの一般要素は $${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$$

正の整数a ₁、a ₂、a ₃、…に対して成り立ちます。このような各要素は、疑問符関数の自己相似性を表します。このモノイドは周期倍加モノイドと呼ばれることもあり、すべての周期倍加フラクタル曲線はこれによって記述される自己対称性を持ちます (疑問符が特殊なケースであるde Rham 曲線は、このような曲線のカテゴリです)。モノイドの要素は、 a ₁、a ₂、a ₃、…を連分数[0; a ₁、a ₂、a ₃、…]と同一視することにより、有理数に対応します。 と は どちらも整数係数の線型分数変換で あるため、モノイドはモジュラー群PSL(2, Z )のサブセットと見なすことができます。 $${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$$$${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$$

疑問符関数は、非二項有理数から二次無理数への 1 対 1 のマッピングを提供し、これにより、後者の可算性の明示的な証明が可能になります。これらは、実際には、二項変換の周期軌道に対応すると理解できます。これは、わずか数ステップで明示的に実証できます。

2 つの移動を定義します。左移動と右移動は、単位区間 で、および および として 有効です。 すると、疑問符関数は、左移動対称性 と右移動対称性 に従います。 ここで、は関数合成を表します。これらは任意に連結できます。たとえば、左から右への移動のシーケンスを考えます。下付き文字 C と D を追加し、わかりやすくするために、いくつかの場所を除いて合成演算子を削除すると、次が得られます。 文字 L と R の任意の有限長文字列は、2 項有理数に対応します。つまり、すべての 2 項有理数は、整数nとm の両方に対して と書き、有限長のビット としてと書き表すことができます。したがって、すべての 2 項有理数は、疑問符関数の何らかの自己対称性と 1 対 1 に対応しています。 ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$$${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$$${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$$${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$$${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$$${\displaystyle L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}}$$$${\displaystyle R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle LRLLR.}$${\displaystyle \circ }$$${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$$${\displaystyle y=n/2^{m}}$${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

表記法を少し変更すると、上記の表現が少し簡単になります。 とがL と R を表すものとします。関数合成により、これはモノイドに拡張され、一般に、数字のバイナリ文字列A、Bに対して と と書くことができます。ここで、AB はそのような文字列の通常の連結です。2項モノイドMは、そのような有限長の左から右への動きすべてのモノイドです。モノイドの一般要素として書くと、疑問符関数の対応する自己対称性があります。 ${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$${\displaystyle \gamma \in M}$$${\displaystyle \gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}}$$

有理数と二項有理数との間の明示的なマッピングは、反射演算子を与え 、および と の両方が である ことに注意することで取得できます。 は恒等式 であるため、任意の左右の移動の文字列は、左移動のみの文字列、その後に反射、さらに左移動、反射、などとして書き直すことができます。つまり、 として書き直すことができ、これは上から明らかに と同型です。 の明示的なシーケンスを関数引数で評価すると、二項有理数が得られます。明示的には、 と等しくなります。ここで、各 はバイナリ ビットで、0 は左移動、1 は右移動に対応します。で評価された同等の移動シーケンスは、有理数 を返します。これは、シーケンスが有限の長さであるため有理数であることを念頭に置くと、連分数によって明示的に提供されるものです。これにより、二項有理数と有理数の間に 1 対 1 の対応が確立されます。 $${\displaystyle r(x)=1-x}$$$${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$$${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$${\displaystyle r^{2}=1}$${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$${\displaystyle L_{D},R_{D}}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$${\displaystyle L_{C},R_{C}}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle p/q.}$${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})}$

ここで、2項変換の周期軌道について考えてみましょう。これらは、有限の初期「カオス」ビット列と、それに続く長さ の繰り返し文字列からなるビット列に対応します。このような繰り返し文字列は有理数に対応します。これは簡単に明示できます。 と書く と、明らかに となります 。初期の非繰り返し列に付け加えると、明らかに有理数となります。実際、すべての有理数は、初期「ランダム」列と、それに続く循環繰り返しという形で表現できます。つまり、マップの周期軌道は、有理数と1対1で対応しています。 ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$$

このような周期軌道は、上で確立された同型性に従って、同等の周期連分数を持つ。有限の長さの初期「カオス」軌道があり、その後に繰り返しシーケンスが続く。繰り返しシーケンスは、を満たす周期連分数を生成する。この連分数は、整数 である^{[5] の}形式を持ち、を満たす。シフトについて明示的に値を書くことで取得できる ため、 反射は で与えられるため、 となる。これらの行列は両方ともユニモジュラであるが、任意の積はユニモジュラのままであり、連分数の正確な値を与える の形式の行列になる 。行列のエントリはすべて整数であるため、この行列は射影モジュラ群 に属する。${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].}$ $${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$$${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle T^{2}=I}$$${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

明示的に解くと、次の式が得られます。この解が 2 次無理数の定義を満たしているかどうかは、簡単に確認できます。実際、すべての 2 次無理数は、このように表現できます。したがって、2 次無理数は、2 次変換の周期軌道と 1 対 1 に対応しており、2 次変換は (非 2 次) 有理数と 1 対 1 に対応しており、有理数は 2 次有理数と 1 対 1 に対応しています。疑問符関数は、それぞれの場合の対応を示します。 ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$

疑問符関数は厳密に増加し連続であるが、^[6]絶対的に連続ではない関数である。導関数はほぼすべての場所で定義され、0（すべての有理数 を含むほぼすべての場所でその値となる）との2つの値のみをとることができる。^{[7]積分すると疑問符関数になる}測度には、いくつかの構成がある。そのような構成の1つは、実数直線上のファレー数の密度を測定することによって得られる。疑問符測度は、マルチフラクタル測度と呼ばれることもあるものの典型的な例である。 ${\displaystyle +\infty }$

疑問符関数は、有理数を二項有理数に写像します。これは、上で概説した再帰的構成からの帰納法によって証明できるように、基数 2 の表現が終了する数を意味します。これは、2 次無理数を非二項有理数に写像します。どちらの場合も、これらの集合の間に順序同型性を提供し、 ^[8]カントールの同型定理を具体化します。この定理によれば、2 つの無限の可算稠密な線型順序はすべて順序同型です。^[9]これは奇関数であり、関数方程式?( x + 1) = ?( x ) + 1 を満たします。したがって、x ↦ ?( x ) − x は、周期 1 の奇周期関数です。?( x )が無理数の場合、x は2 より大きい次数の代数関数か、超越関数です。

疑問符関数は0に固定点を持ちます。⁠1/2⁠と 1、そして少なくとも 2 つは中点を中心に対称です。1 つは約 0.42037 です。^[6] モシュチェヴィチンは、これらが唯一の 5 つの不動点であると推測しました。^[10]

1943年、ラファエル・サレムは疑問符関数のフーリエ・スティルチェス係数が無限大でゼロになるかどうかという疑問を提起した。^[11]言い換えれば、彼は $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$$

これに対してジョーダンとサールステンらは、ギブス測度の結果としての特別なケースとして肯定的に答えた。^[12]

ミンコフスキー疑問符関数のグラフは、ド・ラーム曲線として知られるフラクタル曲線の特殊なケースです。

再帰的な定義は、次のC関数が示すように、任意の実数に対して任意の精度で関数を計算するアルゴリズムに自然に適しています。アルゴリズムは、入力xを検索するために シュテルンブロコット木を下り、途中でy = ?( x )の2進展開の項を合計します。ループ不変条件qr − ps = 1が満たされている限り、分数を減らす必要はありません⁠ メートル/ん⁠ = ⁠p + r/q + s⁠、これはすでに最小項になっているためである。もう1つの不変量は⁠である。p/q⁠ ≤ x < ⁠r/s⁠。forこのプログラムのループは、最初の 3 行の条件付き break 文が条件を構成しているため、ループのように分析できますwhile。ループ内で不変条件に影響を与える可能性のある文は最後の 2 行のみであり、最初の 3 行がループから抜け出すことなく正常に実行されている限り、これらの文は両方の不変条件の真偽を保持することが示されます。ループ本体の 3 番目の不変条件 (浮動小数点精度まで) はy ≤ ?( x ) < y + dですが、条件がテストされる前にループの開始時にdが半分にされるため、ループの終了時にはy ≤ ?( x ) < y + 2 dであるという結論しか得られません。

終了を証明するには、ループの反復ごとに合計がq + s少なくとも 1 増加し、この合計がプリミティブ C データ型で表現できないほど大きくなるとループが終了することに注意するだけlongで十分です。ただし、実際には、条件付きブレークy + d == yによって、妥当な時間内にループが終了することが保証されます。

/* ミンコフスキーの疑問符関数 */ 
double minkowski ( double x ) { long p = x ; long q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , m , n ; double d = 1 , y = p ; if ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) return x ; /* 範囲外 ?(x) =~ x */ for (;;) { /* 不変条件: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; if ( y + d == y ) break ; /* 最大可能精度に到達 */ m = p + r ; if (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) break ; /* 合計がオーバーフローしました */ n = q + s ; if ( n < 0 ) break ; /* 合計がオーバーフローしました */   
       
                 
          
               
          
       
          
             
             
            
               
             
            
           
             

        if ( x < ( double ) m / n ) { r = m ; s = n ; } else { y += d ; p = m ; q = n ; } } return y + d ; /* 最終の丸め */ }      
              
              
          
              
              
              
        
    
        

ミンコフスキーの疑問符関数を?:[0,1] → [0,1]に制限すると、単位区間上の特異分布の累積分布関数として使用できます。この分布は中点を中心に対称で、生のモーメントは約m ₁  = 0.5、m ₂  = 0.290926、m ₃  = 0.186389、m ₄  = 0.126992、^[13]であり、平均と中央値は0.5、標準偏差は約0.2023、歪度は0、過剰尖度は約-1.147です。

• ポンペイウ微分
• エルミートの問題に対するアプローチの1つはミンコフスキーの疑問符関数の一般化を利用する。^[14]

• 広範な参考文献リスト
• ワイスシュタイン、エリック W.、「ミンコフスキーの疑問符関数」、MathWorld
• C++ でのシンプルな IEEE 754 実装