デ・ラム曲線

数学において、ド・ラーム曲線は、カントール空間の像として、またはそれと同等に、単位区間内の実数の2を底とする展開から得られる連続フラクタル曲線である。カントール関数、チェザロ・ファーバー曲線（レヴィC曲線）、ミンコフスキーの疑問符関数、ブランマンジュ曲線、コッホ曲線など、多くのよく知られたフラクタル曲線はすべてド・ラーム曲線の例である。曲線の一般的な形は、 1957年にジョルジュ・ド・ラームによって初めて記述された。^[1]

ある完全な距離空間 （通常は通常のユークリッド距離を持つ^{2 ）と、M 上の}収縮写像のペアを考えます。 ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle d_{0}:\M\toM}$

${\displaystyle d_{1}:\M\toM.}$

バナッハの不動点定理により、これらはそれぞれ不動点とを持つ。xを区間内の実数とし、2進展開を持つものと する。${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},}$

ここで、それぞれは0または1である。次のマップを考える。 ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle c_{x}:\ M\to M}$

定義

${\displaystyle c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,}$

ここで、 は関数合成を表します。 それぞれがとの共通吸引域を内の単一点にマッピングすることが示されます。単一の実パラメータxによってパラメータ化された点の集合は、ド・ラーム曲線として知られています。 ${\displaystyle \circ}$${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{x}}$

2進数による構成は、2つの異なる方法で理解できます。1つは、カントール空間を平面上の異なる点にマッピングする方法です。カントール空間は、2進数の無限長の文字列すべての集合です。これは離散空間であり、分離です。カントール空間は、各文字列を実数の2進展開として扱うことで、単位実数区間にマッピングできます。このマップでは、2項有理数は、2進数の文字列として2つの異なる表現を持ちます。たとえば、実数 1/2 には、 と の2つの同等な2進展開があります。これは、 10進展開で0.999...=1.000...になるのと類似しています。2つの点と は、カントール空間では異なる点ですが、どちらも実数 1/2 にマッピングされます。このように、単位区間の実数は、カントール空間の連続したイメージです。 ${\displaystyle h_{1}=0.1000\cdots }$${\displaystyle h_{0}=0.01111\cdots }$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{1}}$

同じ連続性の概念が、固定点が対になっていることを要求することで、ド・ラーム曲線にも適用され、

${\displaystyle d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})}$

この組み合わせにより、二項有理数の二項展開は常に同じ点にマッピングされ、その点における連続性が保証されます。半分における動作を考えてみましょう。平面上の任意の点pに対して、2 つの異なるシーケンスが存在します。

${\displaystyle d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)}$

そして

${\displaystyle d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)}$

は、2 つの 2 進展開およびに対応します。2 つの写像は両方とも収縮するため、最初のシーケンスは に収束し、2 番目はに収束します。これら 2 つが等しい場合、 1/2 の両方の 2 進展開は同じ点に写像されます。この議論は任意の 2 項有理数で繰り返すことができるため、それらの点で連続性が保証されます。2 項有理数でない実数は、1 つの一意の 2 進表現しか持たないため、曲線はそのような点で不連続になることはありません。結果として得られる de Rham 曲線は、すべてのxにおいてxの連続関数です。 ${\displaystyle 1/2=0.01111\cdots }$${\displaystyle 1/2=0.1000\cdots }$${\displaystyle d_{0}(p_{1})}$${\displaystyle d_{1}(p_{0})}$${\displaystyle p_{x}}$

一般に、de Rham 曲線は微分可能ではありません。

デ・ラーム曲線は構造上自己相似である。

${\displaystyle p(x)=d_{0}(p(2x))}$および​${\displaystyle x\in [0,1/2]}$

${\displaystyle p(x)=d_{1}(p(2x-1))}$のために${\displaystyle x\in [1/2,1].}$

すべてのド・ラーム曲線の自己対称性は、無限二分木またはカントール空間の対称性を記述するモノイドによって与えられます。このいわゆる周期倍加モノイドは、モジュラー群のサブセットです。

曲線の像、つまり点の集合は、収縮写像の集合を用いた反復関数系によって得ることができます。しかし、2 つの収縮写像を持つ反復関数系の結果は、収縮写像が連続条件を満たす場合のみ、ド・ラーム曲線になります。 ${\displaystyle \{p(x),x\in [0,1]\}}$${\displaystyle \{d_{0},\ d_{1}\}}$

自己相似性の詳細な実例は、カントール関数およびミンコフスキーの疑問符関数に関する記事で見つけることができます。まったく同じ自己相似性のモノイドである二項モノイド が、すべてのド・ラーム曲線 に適用されます。

次のシステムは連続曲線を生成します。

チェザロ曲線は、チェザロ・ファベル曲線またはレヴィ C 曲線とも呼ばれ、固定点とを持ち、方向を保存するアフィン変換によって生成される De Rham 曲線です。 ${\displaystyle p_{0}=0}$${\displaystyle p_{1}=1}$

これらの制約により、チェザロ曲線は、およびとなる複素数 によって一意に決定されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|<1}$${\displaystyle |1-a|<1}$

縮約写像およびは、次のように複素平面上の複素関数として定義されます。 ${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=az}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a)z.}$

の値に対して、結果として得られる曲線はレヴィC曲線です。 ${\displaystyle a=(1+i)/2}$

同様に、コッホ・ペアノ曲線族を、固定点とを持つ方向を反転するアフィン変換によって生成されるデ・ラーム曲線の集合として定義できます。 ${\displaystyle p_{0}=0}$${\displaystyle p_{1}=1}$

これらのマッピングは、の複素共役である の関数として複素平面上で表現されます。 ${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle d_{0}(z)=a{\overline {z}}}$

${\displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.}$

このファミリーの名前は、最も有名な 2 つのメンバーに由来しています。コッホ曲線は、次のように設定することで得られます。

${\displaystyle a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{6}},}$

一方、ペアノ曲線は次の式に対応します。

${\displaystyle a_{\text{ペアノ}}={\frac {(1+i)}{2}}.}$

値が1 よりわずかに小さい場合の de Rham 曲線は、視覚的にOsgood 曲線に似ています。これら 2 つの曲線は密接に関連していますが、同じではありません。Osgood 曲線は、集合の減算を繰り返すことによって得られるため、カントール集合自体と同様に完全集合になります。Osgood 集合の構成では、徐々に小さな三角形を減算して、ゼロ以外の測度の「太い」集合を残す必要があります。この構成は、ゼロ以外の測度 を持つ太いカントール集合に類似しています。対照的に、de Rham 曲線は「太く」ありません。この構成では、2 項有理数の「間」を走る「線分」を「太く」する方法はありません。 ${\displaystyle a=(1+ib)/2}$${\displaystyle b}$

チェザロ・ファーバー曲線とペアノ・コッホ曲線は、複素平面上の一対のアフィン線形変換の一般的なケースの特別なケースである。曲線の一方の端点を0に、もう一方の端点を1に固定すると、2つの変換を反復することで一般的なケースが得られる。

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.}$

アフィン変換であるこれらの変換は、 2次元平面上の 点に対してベクトルに作用することによって作用する。${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.}$

曲線の中点は に位置していることがわかります。他の 4 つのパラメータを変更することで、さまざまな曲線を作成できます。 ${\displaystyle (u,v)=(\alpha ,\beta )}$

パラメータ のブランマンジェ曲線は、 、および を設定することで得られます。つまり、 ${\displaystyle w}$${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$${\displaystyle \delta =\zeta =0}$${\displaystyle \varepsilon =\eta =w}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.}$

パラメータ のブランマンジェ曲線は方程式 の放物線であるため、これは場合によってはド・ラーム曲線が滑らかになることがあるという事実を示しています。 ${\displaystyle w=1/4}$${\displaystyle f(x)=4x(1-x)}$

ミンコフスキーの疑問符関数は、写像のペアによって生成される。

${\displaystyle d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}}$

そして

${\displaystyle d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.}$

任意の2 つの関数とが与えられれば、数字を繰り返して反復することで、カントール空間からのマッピングを定義できます。これは、ド・ラーム曲線の場合とまったく同じ方法です。一般に、連続条件の項が満たされない場合、結果はド・ラーム曲線にはなりません。したがって、カントール空間と 1 対 1 に対応する可能性のある集合は多数存在し、その点はカントール空間内の点によって一意にラベル付けできます。ただし、2 項有理数が同じ点にマッピングされない場合は、これらはド・ラーム曲線ではありません。 ${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$

マンデルブロ集合は、周期倍加の反復方程式によって生成される。対応するジュリア集合は、反対方向に反復することで得られる。これは、 と書くことで行われ、これにより、順方向反復が「由来する」2つの異なる根が得られる。これら2つの根は、次のように区別できる。 ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}$${\displaystyle z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}}$${\displaystyle z_{n+1}}$

${\displaystyle d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}}$

そして

${\displaystyle d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.}$

複素数 を固定すると、結果は のその値に対するジュリア集合になります。この曲線は、がマンデルブロ集合の内側にあるときに連続します。それ以外の場合は、点の不連続な集まりです。ただし、連続性の理由は、デ・ラーム条件によるものではありません。一般に、2項有理数に対応する点は互いに離れているためです。実際、この特性は、ジュリア集合内の共役点の「正反対」の概念を定義するために使用できます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

2つ以上の縮約マッピングを使用することで定義を一般化するのは簡単です。n個のマッピングを使用する場合は、実数の2進展開の代わりにxのn進分解を使用する必要があります。連続条件は次のように一般化する必要があります。

${\displaystyle d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})}$、 のために${\displaystyle i=0\ldots n-2.}$

この連続性条件は、次の例で理解できます。10進数で計算しているとします。すると、（有名な）0.999...= 1.000...という連続性方程式が成り立ち、これはすべてのギャップで強制される必要があります。つまり、10進数の桁が与えられている場合、 ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}}$${\displaystyle b_{k}\neq 9}$

${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots }$

このような一般化により、例えば、シェルピンスキーの三角形を生成する反復関数系の収縮マッピングを使用して、シェルピンスキーの矢じり曲線（そのイメージはシェルピンスキーの三角形）を生成することができます。

オルンスタインらは、固定ベースではなく可変ベースで動作する マルチフラクタルシステムを説明しています。

変数基数離散空間の積空間を考える${\displaystyle m_{n}}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

巡回群、整数 に対しては となる。単位区間内の任意の実数は、各となるように数列に展開することができる。より正確には、実数は次のように表される。 ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}}$${\displaystyle m_{n}\geq 2}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$${\displaystyle a_{n}\in A_{n}}$${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

この拡張は、ある点を過ぎると一意ではない。この場合、 ${\displaystyle a_{n}=0}$${\displaystyle K<n}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots }$

このような点は、二項展開における二項有理数に類似しており、曲線上の連続方程式をこれらの点に適用する必要があります。

各 に対して、2 つの点との集合と関数の集合( ) の 2 つの要素を指定する必要があります。連続条件は上記のようになります。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle p_{0}^{(n)}}$${\displaystyle p_{1}^{(n)}}$${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle d_{j}^{(n)}(z)}$${\displaystyle j\in A_{n}}$

${\displaystyle d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})}$、 のために${\displaystyle j=0,\cdots ,m_{n}-2.}$

オーンスタインの元の例

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

• 反復関数システム
• 絞り込み可能な機能
• モジュラーグループ
• フクシアングループ

• ジョルジュ・ド・ラム『関数方程式で定義されるいくつかの曲線について』（1957年）は、ジェラルド・A・エドガー編『フラクタルの古典』（アディソン・ウェズレー、1993年）285～298頁に再録されている。
• リナス・ヴェプスタス『デ・ラム曲線のギャラリー』（2006年）。
• Linas Vepstas、「周期倍加マップの対称性」 (2006 年)。(フラクタル曲線におけるモジュラー群の対称性の一般的な探求。)