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数学において、集合の部分集合の指示関数または特性関数は、部分集合の要素を 1 に、他のすべての要素を 0 に写像する関数です。つまり、A が何らかの集合Xの部分集合である場合、 であり、それ以外の場合は であり、 は指示関数の一般的な表記です。その他の一般的な表記はおよびです。${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$${\displaystyle I_{A},}$${\displaystyle \chi _{A}.}$

Aの指示関数は、 Aに属する性質のアイバーソン括弧である。つまり、

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

たとえば、ディリクレ関数は、実数のサブセットとしての有理数の指示関数です。

集合Xの部分集合Aの指示関数は関数である。

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

定義

1 A ( x ) := { x ∈ A なら 1 、 x ∉ A なら 0 。 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}

アイバーソン括弧は、⟦ x ∈ A ⟧の代わりに同等の表記を提供する。${\displaystyle [x\in A]}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)\,.}$

この関数は、I _A、χ _A、K _A、あるいは単にAと表記されることもある。^{[a] [b]}${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

この表記法は、指示関数の標準定義の 逆数を使用するかのように定義される凸解析における特性関数を表すためにも使用されます。${\displaystyle \chi _{A}}$

統計学における関連する概念は、ダミー変数です。(「ダミー変数」という用語は通常数学で使用され、バインド変数とも呼ばれるため、これを混同しないでください。)

「特性関数」という用語は、古典的な確率論では無関係な意味を持っています。このため、伝統的な確率論者は、ここで定義された関数に対してほぼ独占的に「指示関数」という用語を使用しますが、他の分野の数学者は、集合内のメンバーシップを示す関数を説明するために 「特性関数」^[a]という用語を使用する傾向があります。

ファジー論理と現代の多値論理では、述語は確率分布の特性関数です。つまり、述語の厳密な真偽の評価は、真実の度合いとして解釈される量に置き換えられます。

ある集合Xの部分集合Aの指示関数または特性関数 は、 Xの要素を範囲にマッピングします。 ${\displaystyle \{0,1\}}$

この写像は、A がXの空でない真部分集合である場合にのみ射影的である。の場合同様の議論により、の 場合${\displaystyle A\equiv X,}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$${\displaystyle A\equiv \emptyset }$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

と がの 2つの部分集合である場合、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\ mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B }-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

ieの補数の指示関数は次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{C}}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

より一般的には、Xの部分集合の集合を仮定する。任意の${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

は明らかに0と1の積である。この積はどの集合にも属さないものについては1の値を持ち、そうでない場合は0となる。つまり ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A_{k}}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

左側の製品を展開すると、

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

ここで、 はFの基数です。これは包含排他原理の 1 つの形式です。 ${\displaystyle |F|}$

前の例で示唆されているように、指示関数は組合せ論において便利な表記法です。この表記法は他の場面でも使われており、例えば確率論では、 X が確率測度を持つ確率空間でAが測定可能な集合である場合、は期待値がAの確率に等しいランダム変数になります。 ${\displaystyle \operatorname {P} }$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

この恒等式は、マルコフの不等式の簡単な証明に使用されます。

多くの場合、例えば順序理論では、指示関数の逆関数が定義されることがあります。これは、初等整数論における指示関数の逆関数であるメビウス関数の一般化として、一般に一般化メビウス関数と呼ばれます。(古典的再帰理論における逆関数の使用については、以下の段落を参照してください。)

確率空間 が与えられ、その指標がランダム変数であるとすると、それ以外の場合は${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$${\displaystyle \omega \in A,}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

平均

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ （「ファンダメンタル ブリッジ」とも呼ばれます）。

分散

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

共分散

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

クルト・ゲーデルは1934年の論文「形式数学体系の決定不可能な命題について」（「¬」は論理反転、つまり「NOT」を示す）で表現関数について述べた。 ^{[1] : 42}

各クラスまたは関係Rには、次の場合を表す関数が対応しているものとする。${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

クリーネは、述語Pの関数φが述語が真の場合は0 、述語が偽の場合は1の値を取るという、原始再帰関数の文脈で同じ定義を提示している。 ^[2]

たとえば、特性関数の積は、関数のいずれかが0に等しいときは常に論理和の役割を果たすため、 IF OR OR ... OR THEN の積は0になります。現代の読者には、表現関数の論理反転、つまり関数Rが「真」または満たされる場合、表現関数は0であるように見えるが、これは、論理関数 OR、AND、および IMPLY、^{[2] : 228} 、有界[ ^{2] : 228}および無界^{[2] : 279 ff} mu 演算子、および CASE 関数の Kleene の定義で役立つ役割を果たしています。^{[2] : 229}${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$${\displaystyle \phi _{1}=0}$${\displaystyle \phi _{2}=0}$${\displaystyle \phi _{n}=0}$

古典数学では、集合の特性関数は値1 (メンバー) または0 (非メンバー) のみを取ります。ファジー集合論では、特性関数は実単位区間[0, 1]、またはより一般的には何らかの代数または構造(通常は少なくともposetまたはlatticeである必要があります) で値を取るように一般化されます。このような一般化された特性関数は、より一般的にはメンバーシップ関数と呼ばれ、対応する「集合」はファジー集合と呼ばれます。ファジー集合は、「背が高い」、「暖かい」など、 多くの現実世界の述語に見られるメンバーシップ度の段階的な変化をモデル化します。

一般に、集合の指示関数は滑らかではなく、その台が連結成分である場合に限り連続である。しかし、有限体の代数幾何学では、すべてのアフィン多様体は(ザリスキ) 連続指示関数を許容する。^[3]関数の有限集合が与えられ、 がそれらの消失点であるとする。すると、関数 は の指示関数として動作する。のとき であれば、そうでなければ、ある に対してとなり、これは を意味するので、 となる。 ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}}$${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle P(x)=1}$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$${\displaystyle P(x)=0}$

指示関数は滑らかではないが、弱導関数が許される。例えば、ヘヴィサイドの階段関数 を考える。ヘヴィサイドの階段関数の 分布導関数はディラックのデルタ関数に等しい。つまり 、同様に の分布導関数は$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$$${\displaystyle G(x):=\mathbf {1} _{x<0}}$$$${\displaystyle {\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)}$$

したがって、ヘヴィサイドの階段関数の導関数は、正の半直線によって与えられた領域の境界における内向きの正規導関数として見ることができる。高次元では、導関数は内向きの正規導関数に自然に一般化されるが、ヘヴィサイドの階段関数は、ある領域Dの指示関数に自然に一般化される。 Dの表面はSで示される。さらに、指示子の内向きの正規導関数は「表面デルタ関数」を生じ、次のように表されることが導かれる。ここ でnは表面Sの外向きの法線である。この「表面デルタ関数」には、次の特性がある。^[4]${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$$ $${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

関数f を1 に設定すると、指標の内向きの正規導関数が表面積 Sの数値に積分されることになります。