フォン・ミーゼス・フィッシャー分布

方向統計学において、フォン・ミーゼス・フィッシャー分布（リチャード・フォン・ミーゼスとロナルド・フィッシャーにちなんで名付けられた）は、の-球面上の確率分布です。 分布が円上のフォン・ミーゼス分布に簡約される場合。 ${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle p=2}$

ランダムなp次元単位ベクトルに対するフォン・ミーゼス・フィッシャー分布の確率密度関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=C_{p}(\kappa )\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu } }^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),}$

ここで、正規化定数は ${\displaystyle \kappa \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1}$${\displaystyle C_{p}(\kappa )}$

${\displaystyle C_{p}(\kappa )={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi )^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},}$

ここで は、次数 における第1種修正ベッセル関数を表す。 の場合、正規化定数は次のように減少する。 ${\displaystyle I_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p=3}$

${\displaystyle C_{3}(\kappa )={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }}={\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e ^{-\kappa })}}.}$

パラメータと は、それぞれ平均方向パラメータと集中パラメータと呼ばれます。 の値が大きいほど、平均方向 の周りの分布の集中度が高くなります。 では分布は単峰性であり、 では球面上で均一です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle \kappa =0}$

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布はフィッシャー分布とも呼ばれます。^{[1] [2]これは最初、}電場における電気双極子 の相互作用をモデル化するために使用されました。^{[3]その他の応用としては}、地質学、バイオインフォマティクス、テキストマイニングなどがあります。 ${\displaystyle p=3}$

MardiaとJuppの教科書「方向統計学 ^」[3]では、フォン・ミーゼス・フィッシャー確率密度の正規化定数は、ここで示されているものとは明らかに異なっています。その本では、正規化定数は次のように指定されています。 ${\displaystyle C_{p}(\kappa )}$

${\displaystyle C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {({\frac {\kappa }{2}})^{p/2-1}}{\Gamma (p/2)I_{p/2-1}(\kappa )}}}$

ここで、はガンマ関数です。これは、Mardia と Jupp が密度を「一様分布に関して」与えているのに対し、ここでの密度は通常の方法でルベーグ測度に関して指定されていることに注目することで解決されます。一様分布の密度 (ルベーグ測度に関して) は(p-1) 球の表面積の逆数であるため、一様密度関数は定数で与えられます。 ${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle C_{p}(0)={\frac {\Gamma (p/2)}{2\pi ^{p/2}}}}$

すると次のようになります。

${\displaystyle C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {C_{p}(\kappa )}{C_{p}(0)}}}$

の値は上で表面積から導出されましたが、について上の式で を設定することによって同じ結果を得ることができます。 これは、を で割った の級数展開には において1 つの非ゼロ項しかないことに注目することによって行うことができます。 (その項を評価するには、定義 を使用する必要があります。) ${\displaystyle C_{p}(0)}$${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle C_{p}(\kappa )}$${\displaystyle I_{p/2-1}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa ^{p/2-1}}$${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布の台は超球面、より具体的には-球面であり、次のように表記される。 ${\displaystyle (p-1)}$

${\displaystyle S^{p-1}=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}:\left\|\mathbf {x} \right\|=1\right\}}$

これは、次元ユークリッド空間に埋め込まれた次元多様体です。 ${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

等方性共分散と長さの平均を持つ正規分布から開始すると、その密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle \kappa ^{-1}\mathbf {I} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle G_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=\left({\sqrt {\frac {\kappa }{2\pi }}}\right) ^{p}\exp \left(-\kappa {\frac {(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2}}\right),}$

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布は を条件として得られる。 ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\mu }}-2{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ,}$

また、右辺の最初の 2 つの項が固定されているという事実を利用して、フォン ミーゼス フィッシャー密度は、単位球面上で積分して正規化定数を再計算することによって回復されます。 の場合、密度 の一様分布が得られます。 ${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;r^{-1}{\boldsymbol {\mu }},r\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {0}},0)}$

もっと簡潔に言えば、任意の等方性多変量正規密度を単位超球面に制限すると、正規化までフォン・ミーゼス・フィッシャー密度が得られます。

この構成は、一般共分散行列を持つ正規分布から始めて一般化することができ、その場合、 を条件付けるとフィッシャー・ビンガム分布が得られます。 ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}$

N個の 独立した 単位ベクトル の系列はフォン・ミーゼス・フィッシャー分布から描かれる。平均方向の最大尤度推定値は単に正規化された算術平均であり、十分な統計量である：^[3]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{ただし}}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{かつ}}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}$

第一種修正ベッセル関数を用いて定義する

${\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {I_{p/2}(\kappa )}{I_{p/2-1}(\kappa )}}.}$

それから：

${\displaystyle \kappa =A_{p}^{-1}({\bar {R}}).}$

これが解決策です ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {\left\|\sum _{i}^{N}x_{i}\right\|}{N}}={\bar {R}}.}$

の簡単な近似値は（Sra、2011） ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle {\hat {\kappa }}={\frac {{\bar {R}}(p-{\bar {R}}^{2})}{1-{\bar {R}}^{2}}},}$

ニュートン法を数回 繰り返すことで、より正確な逆変換が得られる。

${\displaystyle {\hat {\kappa }}_{1}={\hat {\kappa }}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }})-{\bar {R} }}{1-A_{p}({\hat {\kappa }})^{2}-{\frac {p-1}{\hat {\kappa }}}A_{p}({\hat {\kappa }})}},}$

${\displaystyle {\hat {\kappa }}_{2}={\hat {\kappa }}_{1}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})^{2}-{\frac {p-1}{{\hat {\kappa }}_{1}}}A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})}}.}$

N ≥ 25の場合 、サンプル平均方向の推定球面標準誤差は次のように計算できます。^[4]

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=\left({\frac {d}{N{\bar {R}}^{2}}}\right)^{1/2}}$

どこ

${\displaystyle d=1-{\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}\left(\mu ^{T}x_{i}\right)^{2}}$

すると、半垂直角を持つ 球状の信頼区間（信頼円錐）を近似することが可能になります。${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle q=\arcsin \left(e_{\alpha }^{1/2}{\hat {\sigma }}\right),}$どこ${\displaystyle e_{\alpha }=-\ln(\alpha ).}$

例えば、95%の信頼度円錐の場合、${\displaystyle \alpha =0.05,e_{\alpha }=-\ln(0.05)=2.996,}$${\displaystyle q=\arcsin(1.731{\hat {\sigma }}).}$

フォン ミーゼス フィッシャー分布の期待値は単位超球面上にはなく、長さが 未満です。この長さは、上で定義したように で与えられます。平均方向と集中を持つフォン ミーゼス フィッシャー分布の場合、期待値は次のようになります。 ${\displaystyle A_{p}(\kappa )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa >0}$

${\displaystyle A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }}}$。

の場合、期待値は原点にあります。有限の の場合、期待値の長さは厳密に 0 と 1 の間であり、 の単調増加関数です。 ${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle \kappa }$

単位超球面上の点の集合の経験的平均（算術平均）も同様に動作し、広範囲に広がるデータの場合は原点に近くなり、集中したデータの場合は球に近くなります。実際、フォン・ミーゼス・フィッシャー分布の場合、点の集合に基づく最大尤度推定値の期待値は、それらの点の経験的平均に等しくなります。

期待値は微分エントロピーとKL ダイバージェンスの計算に使用できます。

の微分エントロピーは: ${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$

${\displaystyle {\bigl \langle }-\log f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa ){\bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}=-\log f_{p}(A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }};{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=-\log C_{p}(\kappa )-\kappa A_{p}(\kappa )}$

ここで、山括弧は期待値を表します。エントロピーは の関数であることに注意してください。 ${\displaystyle \kappa }$

と の間のKLダイバージェンスは次のとおりです。 ${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}$${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}$

${\displaystyle {\Bigl \langle }\log {\frac {f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}{\Bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}=\log {\frac {f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}}$

フォン ミーゼス フィッシャー (VMF) 分布は、直交線形変換の下で閉じています。 を-行- 列の直交行列とします。および に可逆線形変換 を適用します。 逆変換は です。直交行列の逆は転置 であるためです。変換のヤコビアンは であり、その行列式の絶対値は1 です。これも直交性のためです。 これらの事実と VMF 密度の形式を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ux} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {U'y} }$${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} '}$${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {y} \sim {\text{VMF}}(\mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }},\kappa ).}$

およびは単位ベクトルなので、直交性により、 およびもであることが確認できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

フォン・ミーゼス・フィッシャー（VMF）分布から疑似ランダムサンプルを抽出するアルゴリズムは、Ulrich [5] によって提案され、^後にWood ^[6]によって修正されました。Rでの実装は、HornikとGrün ^[7]によって提案され、高速なPython実装はPinzónとJung ^{[8]によって説明されています。}

平均方向 を持つ次元単位球面上の VMF 分布からシミュレートするために、これらのアルゴリズムは点 に対して次の放射状-接線方向分解を使用します 。 ${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =t{\boldsymbol {\mu }}+{\sqrt {1-t^{2}}}\mathbf {v} }$

ここで、 はを中心とし に垂直な接線方向 -次元単位部分球面内に存在します。一方 です。パラメータおよびを持つ VMF から サンプルを抽出するには、接線方向部分球面上の一様分布から抽出する必要があります。また、放射状成分 は、密度 を持つ分布から独立して抽出する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle (p-2)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle t\in [-1,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})I_{\nu }(\kappa )}}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}}$

ここで、この密度の正規化定数は次を使用して検証できます。 ${\displaystyle \nu ={\frac {p}{2}}-1}$

${\displaystyle I_{\nu }(\kappa )={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dt}$

方向統計の付録1（A.3）に示されているように。^{[3]この密度から}棄却サンプリングアルゴリズムを使用してサンプルを抽出する方法は、上記の参考文献で説明されています。に垂直な均一サンプルを抽出するには、^[8]のアルゴリズムを参照してください。または、^{[9]のアルゴリズム1で説明されている}ハウスホルダー変換を使用できます。${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

与えられた と に対して、フォン・ミーゼス・フィッシャー分布擬似ランダム球面3次元単位ベクトル^{[10] [11]を} 球面上に生成するには、次のように定義する。 ${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$${\textstyle S^{2}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \kappa }$

${\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[r,\theta ,\phi ]}$

極角、方位角、球の中心までの距離は どこにあるか${\textstyle \theta }$${\textstyle \phi }$${\textstyle r=1}$

擬似ランダムトリプレット は次のように与えられる。${\textstyle \mathbf {\mu } =[0,(.),1]}$

${\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[1,\arccos W,V]}$

ここで、下限と上限を持つ連続一様分布からサンプリングされます。${\textstyle V}$ ${\textstyle U(a,b)}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle V\sim U(0,2\pi )}$

そして

${\displaystyle W=\cos \theta =1+{\frac {1}{\kappa }}(\ln \xi +\ln(1-{\frac {\xi -1}{\xi }}e^{-2\kappa }))}$

ここで、は標準連続一様分布からサンプリングされる。${\textstyle \xi }$${\textstyle U(0,1)}$

${\displaystyle \xi \sim U(0,1)}$

ここでは、をwhenに設定し、他の必要な と一致するように回転する必要があります。 ${\textstyle W}$${\textstyle W=1}$${\textstyle \mathbf {\xi } =0}$${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$${\textstyle \mu }$

に対して、との間の角度 θ はを満たす。分布は次のようになる。 ${\displaystyle p=3}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \cos \theta ={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$

${\displaystyle p(\theta )=\int d^{2}xf(x;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )\,\delta \left(\theta -{\text{arc cos}}({\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} )\right)}$、

これは簡単に評価できる

${\displaystyle p(\theta )=2\pi C_{3}(\kappa )\,\sin \theta \,e^{\kappa \cos \theta }}$。

一般的な場合、この角度の余弦の分布は次のようになります。 ${\displaystyle p\geq 2}$

${\displaystyle \cos \theta =t={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$

は上で説明したようにによって与えられます。 ${\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)}$

のとき、上のフォン ミーゼス–フィッシャー分布は上の一様分布に簡略化されます。密度は値 で一定です。疑似ランダム サンプルは、標準の多変量正規分布から のサンプルを生成し、単位ノルムに正規化することで 生成できます。${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle C_{p}(0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

に対して、を の任意の成分とする。に対する周辺分布の密度は次のようになる: ^{[12] [13]}${\displaystyle 1\leq i\leq p}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle f_{i}(x_{i};p)=f_{\text{radial}}(x_{i};\kappa =0,p)={\frac {(1-x_{i}^{2})^{{\frac {p-1}{2}}-1}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}}}}$

ここで はベータ関数です。この分布は、ベータ分布との関係を強調することでよりよく理解できます。 ${\displaystyle B(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{2}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}&&{\text{and}}&{\frac {x_{i}+1}{2}}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}}$

ここで、ルジャンドル複製公式は、上記のさまざまな密度の正規化定数間の関係を理解するのに役立ちます。

の成分は独立していないため、均一密度は周辺密度の積ではなく、成分を独立にサンプリングして組み立てることはできないことに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

機械学習、特に画像分類では、分類対象の入力（画像など）は、多くの場合、コサイン類似度を使用して比較されます。コサイン類似度は、単位ベクトル（埋め込みと呼ばれる）の形式での中間表現間のドット積です。次元は通常高く、少なくとも数百です。分類のために埋め込みを抽出するディープニューラルネットワークは、クラスをできるだけ離して広げることを学習する必要があり、理想的には、クラスが 上で均一に分布している必要があります。^[14]クラス間のコサイン類似度をより統計的に理解するには、均一分布から独立してサンプリングされた単位ベクトル間のドット積の分布が役立つ場合があります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{p-1}}$

を一様分布から独立にサンプリングされた 内の単位ベクトルと します。定義:${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\mathbf {x} '\mathbf {y} \in [-1,1],&r&={\frac {t+1}{2}}\in [0,1],&s&={\text{logit}}(r)=\log {\frac {1+t}{1-t}}\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

ここで、はドット積であり、 はその変換版である。 の分布は、上記の周辺成分分布と同じである。^[13]の分布は対称ベータであり、 の分布は対称ロジスティックベータである。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )},&s&\sim B_{\sigma }{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}}$

平均と分散は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}E[t]&=0,&E[r]&={\frac {1}{2}},&E[s]&=0,\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{var}}[t]&={\frac {1}{p}},&{\text{var}}[r]&={\frac {1}{4p}},&{\text{var}}[s]&=2\psi '{\bigl (}{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\approx {\frac {4}{p-1}}\end{aligned}}}$

ここで、 は最初のポリガンマ関数です。次元 が増加するにつれて、分散が減少し、3 つの変数すべての分布がよりガウス分布に近づき、最終的な近似値が向上します。 ${\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}$${\displaystyle p}$

行列フォン・ミーゼス・フィッシャー分布（行列ランジュバン分布^{[15] [16]}としても知られる）の密度は

${\displaystyle f_{n,p}(\mathbf {X} ;\mathbf {F} )\propto \exp(\operatorname {tr} (\mathbf {F} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ))}$

正規直交pフレームのシュティーフェル多様体上でサポートされる。ここで、は任意の実数行列である。^{[17] [18]}${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle n\times p}$

Ulrich ^[5]は、 VMF分布からサンプリングするアルゴリズムを設計する際に、John G. Saw ^[19]にちなんで名付けられ、研究された分布族を利用しています。Saw分布は、モードベクトルと濃度を持つ-球面上の分布であり、その密度関数は次の形式になります。 ${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle \kappa \geq 0}$

${\displaystyle f_{\text{Saw}}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )={\frac {g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})}{K_{p}(\kappa )}}}$

ここで、は非負の増加関数であり、ここで、は正規化定数です。上記のラジアル-タンジェンシャル分解はSawファミリーに一般化され、ラジアル成分の密度は次のようになります。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle K_{P}(\kappa )}$ ${\displaystyle t=\mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}$

${\displaystyle f_{\text{Saw-radial}}(t;\kappa )={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma (p/2)}}{\frac {g(\kappa t)(1-t^{2})^{(p-3)/2}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}K_{p}(\kappa )}}.}$

ここで はベータ関数です。また、半径密度の左側の因子は の表面積であることにも注意してください。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{p-1}}$

を設定すると、VMF 分布が回復されます。 ${\displaystyle g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})=e^{\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}}$

フォン ミーゼス-フィッシャー分布の定義は、 の場合も含むように拡張できます。この場合、サポートは 0 次元超球面であり、これを 1 次元ユークリッド空間に埋め込むと離散集合 になります。平均方向は で、濃度は です。 の確率質量関数は、次のようになります。 ${\displaystyle p=1}$${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle \mu \in \{-1,1\}}$${\displaystyle \kappa \geq 0}$${\displaystyle x\in \{-1,1\}}$

${\displaystyle f_{1}(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \mu x}}{e^{-\kappa }+e^{\kappa }}}=\sigma (2\kappa \mu x)}$

ここで、はロジスティックシグモイドです。期待値は です。均一なケースでは、 で、この分布はラーデマッハ分布に退化します。 ${\displaystyle \sigma (z)=1/(1+e^{-z})}$${\displaystyle \mu \,{\text{tanh}}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa =0}$

• ケント分布、2次元単位球面上の関連分布
• フォン・ミーゼス分布、フォン・ミーゼス・フィッシャー分布（p  = 2）、1次元単位円
• 二変量フォン・ミーゼス分布
• 方向統計

• Dhillon, I., Sra, S. (2003)「方向性分布を使用したデータのモデリング」。技術報告書、テキサス大学オースティン校。
• Banerjee, A., Dhillon, IS, Ghosh, J., & Sra, S. (2005). 「フォン・ミーゼス・フィッシャー分布を使用した単位超球面上のクラスタリング」。Journal of Machine Learning Research、6(9月)、1345-1382。
• Sra, S. (2011). 「フォン・ミーゼス・フィッシャー分布のパラメータ近似に関する短いメモ: I_s(x) の高速実装」.計算統計. 27 : 177–190. CiteSeerX  10.1.1.186.1887 . doi :10.1007/s00180-011-0232-x. S2CID  3654195.