ケント分布

方向統計学において、ケント分布は、 5パラメータ フィッシャー–ビンガム分布（ジョン T. ケント、ロナルド フィッシャー、クリストファー ビンガムにちなんで命名）としても知られ、単位球面（3次元空間R ³内の2次元球面S ^{2 ）上の}確率分布です。これは、制約のない共分散行列を持つ2変量正規分布のS ²上の類似物です。ケント分布は、1982年にジョン T. ケントによって提案され、地質学やバイオインフォマティクスで使用されています。

ケント分布の 確率密度関数 は次のように表されます。${\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}}$

ここで、 は3次元単位ベクトル、は の転置を表し、正規化定数は次 のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} \,}$${\displaystyle (\cdot )^{T}}$${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle {\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,}$

${\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )}$

ここで、は修正ベッセル関数、はガンマ関数です。および はフォン・ミーゼス・フィッシャー分布の正規化定数であることに注意してください。 ${\displaystyle I_{v}(\kappa )}$${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$${\displaystyle c(0,0)=4\pi }$${\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )}$

パラメータ ( ) は分布の集中度または広がりを決定し、 ( ) は等確率等高線の楕円度を決定します。 パラメータ とが 大きくなるほど 、分布はそれぞれ集中度と楕円度が高くなります。ベクトル は平均方向で、ベクトルは 長軸と短軸です。後者の 2 つのベクトルは球面上の等確率等高線の方向を決定し、最初のベクトルは等高線の共通の中心を決定します。行列は直交している必要があります。 ${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa >0\,}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle 0\leq 2\beta <\kappa }$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ガンマ }}_{1}\,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,}$

ケント分布は高次元の球面にも簡単に一般化できる。が の単位球面上の点である場合、次元ケント分布の密度関数は に比例する。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j }({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2}\right\}\ ,}$

ここで、 およびおよびベクトルは正規直交です。ただし、 の場合、正規化定数の取り扱いが非常に難しくなります。 ${\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0}$${\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa }$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}}$${\displaystyle p>3}$

• 方向統計
• フォン・ミーゼス・フィッシャー分布
• 二変量フォン・ミーゼス分布
• フォン・ミーゼス分布
• ビンガム分布

• Boomsma, W., Kent, JT, Mardia, KV, Taylor, CC & Hamelryck, T. (2006) グラフィカルモデルと方向性統計がタンパク質構造を捉える Archived 2021-05-07 at the Wayback Machine . In S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Interdisciplinary Statistics and Bioinformatics , pp. 91–94. Leeds, Leeds University Press.
• Hamelryck T、Kent JT、Krogh A (2006) 局所構造バイアスを用いた現実的なタンパク質構造のサンプリング。PLoS Comput Biol 2(9): e131
• Kent, JT (1982) 球面上のフィッシャー-ビンガム分布、J. Royal. Stat. Soc.、44:71–80。
• Kent, JT, Hamelryck, T. (2005). タンパク質構造の確率モデルにおけるフィッシャー–ビンガム分布の使用 Archived 2021-05-07 at the Wayback Machine . S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets , pp. 57–60. Leeds, Leeds University Press.
• Mardia, KVM, Jupp, PE (2000) 方向統計学（第 2 版）、John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-95333-4
• Peel, D., Whiten, WJ., McLachlan, GJ. (2001) ケント分布の混合のフィッティングによるジョイントセット識別の支援J. Am. Stat. Ass. , 96:56–63