フォン・ミーゼス分布

フォン・ミーゼス

確率密度関数 サポートは[−π,π]に選択され、 μ =  0
累積分布関数 サポートは[−π,π]に選択され、 μ =  0
パラメータ	${\displaystyle \mu}$本物 ${\displaystyle \kappa >0}$
サポート	${\displaystyle x\in}$長さ2πの任意の区間
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$
ドイツ連邦共和国	（分析的ではありません – 本文を参照）
平均	${\displaystyle \mu}$
中央値	${\displaystyle \mu}$
モード	${\displaystyle \mu}$
分散	${\displaystyle {\textrm {var}}(x)=1-I_{1}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$（円形）
エントロピ	${\displaystyle -\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}+\ln[2\pi I_{0}(\kappa )]}$（差分）
CF	${\displaystyle {\frac {I_{|t|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{it\mu }}$

確率論と方向統計において、フォン・ミーゼス分布（円正規分布またはチホノフ分布とも呼ばれる）は、円上の連続確率分布である。これは、正規分布の円類似体であるラップ正規分布に近い近似である。円上の自由拡散角は、ラップされていない分散が時間とともに線形に増加する、ラップされた正規分布のランダム変数である。一方、フォン・ミーゼス分布は、調和ポテンシャル、すなわち優先配向を持つ円上のドリフトおよび拡散プロセスの定常分布である。^[1]フォン・ミーゼス分布は、第1円モーメントの実部と虚部が指定されている場合の円形データの最大エントロピー分布である。フォン・ミーゼス分布は、 N次元球面上のフォン・ミーゼス・フィッシャー分布の特殊なケースである。 ${\displaystyle \theta}$

角度xに対するフォンミーゼスの確率密度関数は次のように与えられる: ^[2]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(x-\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$

ここで、I ₀ ( ) は0次の第一種修正ベッセル関数であり、このスケーリング定数は分布の合計が1になるように選択される。${\displaystyle \kappa}$${\textstyle \int _{-\pi }^{\pi }\exp(\kappa \cos x)dx={2\pi I_{0}(\kappa )}.}$

パラメータμと 1/ は、正規分布のμとσ ² (平均と分散) に類似しています。${\displaystyle \kappa}$

• μ は位置の尺度であり（分布はμ の周りに集まっている）、
• ${\displaystyle \kappa}$は濃度の尺度です（分散の逆数尺度なので、1/はσ ²に類似しています）。 ${\displaystyle \kappa}$
  • がゼロの場合、分布は均一になり、 が小さい場合は均一に近くなります。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$
  • が大きい場合、分布は角度μ を中心に非常に集中し、 は集中度の尺度となります。実際、 が増加すると、分布は  平均μと分散 1/ を持つxの正規分布に近づきます。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

確率密度はベッセル関数の級数として表すことができる^[3]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

ここでI _j ( x )はj次の修正ベッセル関数である。

累積分布関数は解析的ではなく、上記の級数を積分することで最もよく求められます。確率密度の不定積分は次のようになります。

${\displaystyle \Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,dt={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).}$

累積分布関数は積分の下限x ₀の関数となる。

${\displaystyle F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi (x\mid \mu ,\kappa )-\Phi (x_{0}\mid \mu ,\kappa ).\,}$

フォン ミーゼス分布のモーメントは、通常、角度x自体ではなく、複素指数z = e ^ixのモーメントとして計算されます。これらのモーメントは円モーメントと呼ばれます。これらのモーメントから計算された分散は、円分散と呼ばれます。唯一の例外は、「平均」が通常、複素平均の 引数を指すことです。

zのn番目の生のモーメントは次のとおりです。

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{in\mu }}$

ここで積分は長さ2πの任意の区間にわたって行われる。上記の積分を計算するには、 z ⁿ = cos( n x) + i sin( nx )という事実とベッセル関数の恒等式^{[4]を使用する。}${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{\kappa \cos(x)}\cos(nx) \,dx.}$

複素指数zの平均は  、

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }}$

そして、角度xの円平均値は引数μとみなされます。これは、角度ランダム変数の期待される方向または優先方向です。 xの円分散は、次のようになります。

${\displaystyle V=1-|E[e^{ix}]|=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}。$

が大きい場合、分布は正規分布に類似する。^[5]具体的には、大きな正の実数の場合、 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

ここで σ ² = 1/であり、近似値の左側と右側の差は、無限大に近づくにつれて一様にゼロに収束します。また、が小さい場合、確率密度関数は一様分布に似ています。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle \lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U} (x)}$

ここで、一様分布の区間は、長さの選択された区間です(つまり 、 が区間内にあるときと が区間内にない とき)。${\displaystyle \mathrm {U} (x)}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathrm {U} (x)=1/(2\pi )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {U} (x)=0}$${\displaystyle x}$

フォン・ミーゼス分布から得られるN回の測定結果は、分布の特定のパラメータを推定するために使用できる。^[6]測定結果の平均は次のように定義される。 ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

そしてその期待値は最初の瞬間だけになります。

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle ={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }.}$

言い換えれば、は第 1 モーメントの不偏推定量です。平均が区間 内にあると仮定すると、 Arg は平均 の (偏りのある) 推定量になります。 ${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle ({\overline {z}})}$${\displaystyle \mu }$

を複素平面上のベクトルの集合として見ると、統計量は​​平均ベクトルの長さの 2 乗になります。 ${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

そしてその期待値は^[7]

${\displaystyle \langle {\bar {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,{\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}.}$

言い換えれば、統計

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\bar {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

は の不偏推定量となり、について方程式を解くとの（偏りのある）推定量が得られます。線形の場合と同様に、方程式の解はの最大尤度推定値を生成し、 Nが大きい極限では両方が等しくなります。 の近似解については、フォン・ミーゼス・フィッシャー分布を参照してください。 ${\displaystyle {\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}\,}$${\displaystyle R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa \,}$

フォン・ミーゼス分布の標本平均の分布は 次のように与えられる: ^[8]${\displaystyle {\overline {z}}={\bar {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

${\displaystyle P({\bar {R}},{\bar {\theta }})\,d{\bar {R}}\,d{\bar {\theta }}={\frac {1}{(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)}$

ここで、N は測定回数であり、変数の区間で構成され、およびが一定であるという制約があり、平均の結果です。 ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}}$

平均角度は次のようになります 。${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

括弧内の積項は、円形一様分布の平均の分布にすぎないことに注意する。^[8]

これは、フォンミーゼス分布の 平均方向の分布がフォンミーゼス分布、または同等に であることを意味します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle VM(\mu ,\kappa )}$${\displaystyle VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )}$${\displaystyle VM(\mu ,R\kappa )}$

定義によれば、フォン・ミーゼス分布の情報エントロピーは^[2]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,}$

ここで、は長さ の任意の区間です。フォン・ミーゼス分布の密度の対数は簡単です。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,}$

フォンミーゼス分布の特性関数表現は次のようになります。

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

ここで、これらの式をエントロピー積分に代入し、積分と合計の順序を入れ替え、余弦の直交性を利用すると、エントロピーは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$

の場合、フォンミーゼス分布は円形一様分布となり、エントロピーは最大値 に達します。 ${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle \ln(2\pi )}$

フォン・ミーゼス分布は、第1円モーメントの実数部と虚数部が指定されている場合^[9]、または同等に円平均と円分散が指定されている場合にエントロピーを最大化することに注意してください。

• 二変量フォン・ミーゼス分布
• 方向統計
• フォン・ミーゼス・フィッシャー分布
• ケント分布

• Abramowitz, M. および Stegun, IA (編)、数学関数ハンドブック、国立標準局、1964 年、Dover Publicationsより1965 年に再版。ISBN 0-486-61272-4