二変量フォン・ミーゼス分布

確率論と統計学において、二変量フォン・ミーゼス分布はトーラス上の値を記述する確率分布である。これは二変量正規分布のトーラス上の類似物と考えることができる。この分布は方向統計学の分野に属する。一般二変量フォン・ミーゼス分布は1975年にカンティ・マルディアによって初めて提案された。 ^{[1] [2]その変種の1つは現在}バイオインフォマティクスの分野で、バックボーン依存ロータマーライブラリなど、原子レベルでのタンパク質構造の確率モデルを定式化するために使用されている。 ^{[3] [4]}

二変量フォン・ミーゼス分布は、トーラス上で定義される確率分布である。角度に対する一般二変量フォン・ミーゼス分布の確率密度関数は、^[1]で与えられる。${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \phi ,\psi \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\ cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],}$

ここで、 および はおよびの平均であり、それらの濃度と行列はそれらの相関に関係しています。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \kappa_{1}}$${\displaystyle \kappa_{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)}$

二変量フォンミーゼス分布のよく使われる 2 つの変種は、正弦変種と余弦変種です。

^{二変量フォン・ミーゼス分布[3]}のコサイン変種は確率密度関数

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos (\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

ここで、およびは、およびの平均であり、それらの濃度およびは、それらの相関に関係しています。は正規化定数です。 =0 のこの分布は、タンパク質の二面角およびの分布のカーネル密度推定に使用されています。^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \kappa_{1}}$${\displaystyle \kappa_{2}}$${\displaystyle \kappa_{3}}$${\displaystyle Z_{c}}$${\displaystyle \kappa_{3}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$

正弦関数の確率密度関数は^{[5]である。}

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos (\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

ここで、パラメータは同じ解釈を持ちます。

• フォン・ミーゼス分布、1次元単位円上の同様の分布
• ケント分布、2次元単位球面上の関連分布
• フォン・ミーゼス・フィッシャー分布
• 方向統計