演算子（数学）

数学において、演算子とは一般に、ある空間の要素に作用して別の空間（同じ空間である可能性があり、時には同じ空間であることが求められる）の要素を生成する写像または関数である。演算子の一般的な定義はないが、定義域が関数またはその他の構造化されたオブジェクトの集合である場合に、関数の代わりにこの用語がよく使用される。また、演算子の定義域は明示的に特徴付けるのが難しいことが多く（たとえば積分演算子の場合）、関連するオブジェクトに作用するように拡張されることがある（関数に作用する演算子は、解が方程式を満たす関数である微分方程式にも作用することがある）。（他の例については 演算子（物理学）を参照）

最も基本的な演算子は線型写像であり、ベクトル空間に作用する。線型演算子とは、たとえば から のように、定義域と値域が同じ空間である線型写像を指す。[ ^{1] [2] [a]このような演算子は}連続性 などの性質を保持することが多い。たとえば、微分や不定積分は線型演算子であり、それらから構築される演算子は微分演算子、積分演算子、または積分微分演算子と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

演算子は、数学演算の記号を表すためにも使用されます。これは、コンピュータ プログラミングにおける「演算子」の意味に関係しています( 「演算子 (コンピュータ プログラミング)」を参照)。

最も一般的に見られる演算子の種類は線形演算子です。UとV をある体 K 上のベクトル空間とします。マッピングが線形であるとは、すべての x と y が U に含まれ、すべてのα、βがKに含まれる場合です。 ${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$$${\displaystyle \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$

これは、線形演算子がベクトル空間演算を保存することを意味します。つまり、線形演算子を加算やスカラー乗算の演算の前または後に適用しても問題ありません。より技術的な言葉で言えば、線形演算子はベクトル空間間の射です。有限次元の場合、線形演算子は次のように行列で表すことができます。Kを体とし、およびVをK上の有限次元ベクトル空間とします。UおよびV の基底を選択します。次に、を（アインシュタインの慣例と仮定して）内の任意のベクトルとし、を線形演算子とします。すると、となり、すべての とともに、は固定基底 内の演算子の行列形式になります。テンソルは、およびの場合の選択には依存しません。したがって、固定基底では、n行m列の行列はからまでの線形演算子に全単射に対応します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \\mathbf {u}_{1},\ldots,\mathbf {u}_{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$$${\displaystyle \\operatorname {A}\mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A}\mathbf {u}_{i}=x^{i}\left(\operatorname {A}\mathbf {u}_{i}\right)^{j}\mathbf {v}_{j}~.}$$${\displaystyle a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}}$${\displaystyle a_{i}^{j}\in K}$${\displaystyle \operatorname {A} }$${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle a_{i}^{j}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} }$${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

有限次元ベクトル空間間の演算子に直接関連する重要な概念は、階数、行列式、逆演算子、および固有空間です。

線形演算子は、無限次元の場合にも重要な役割を果たします。階数と行列式の概念は、無限次元行列には拡張できません。このため、無限次元の場合の線形演算子 (および演算子全般) を研究する際には、非常に異なる手法が使用されます。無限次元の場合の線形演算子の研究は、関数解析として知られています(関数のさまざまなクラスが無限次元ベクトル空間の興味深い例を形成するため、このように呼ばれます)。

実数の列の空間、またはより一般的には任意のベクトル空間内のベクトルの列は、それ自体が無限次元のベクトル空間を形成します。最も重要なケースは実数または複素数の列であり、これらの空間は線形部分空間とともに列空間として知られています。これらの空間上の演算子は列変換として知られています。

バナッハ空間上の有界線形作用素は、標準作用素ノルムに関してバナッハ代数を形成します。バナッハ代数の理論は、固有空間の理論をエレガントに一般化する スペクトルの非常に一般的な概念を展開します。

UとV を同じ順序体上の 2 つのベクトル空間(たとえば) とし、これらにノルムが備わっているとします。UからVへの線型作用素は、U内の任意の x に対してc > 0が存在するとき、有界と呼ばれます。有界作用素はベクトル空間を形成します。このベクトル空間では、 UとVのノルムと互換性のあるノルムを導入できます。U からそれ自身への作用素の場合、次のことが示されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}}$$$${\displaystyle \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.}$$

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$. ^[b]

この性質を持つ任意の単位ノルム代数はバナッハ代数と呼ばれる。スペクトル理論をそのような代数に一般化することは可能である。C *-代数は何らかの追加構造を持つバナッハ代数であり、量子力学で重要な役割を果たしている。

関数解析の観点から見ると、微積分学は、微分演算子 とボルテラ演算子という2 つの線型演算子の研究です。 ${\displaystyle {\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \int_{0}^{t}}$

ベクトル計算では 3 つの演算子が重要です。

• Grad (勾配) (演算子記号付き) は、スカラー フィールド内のすべてのポイントに、そのフィールドの最大変化率の方向を指し、そのノルムがその最大変化率の絶対値を測定しているベクトルを割り当てます。${\displaystyle \nabla}$
• Div (発散) (演算子記号付き) は、ベクトル場の特定の点からの発散または特定の点への収束を測定するベクトル演算子です。${\displaystyle {\nabla \cdot }}$
• Curl（演算子記号）は、指定された点の周りのベクトル場のカール（巻き付く、回転する）傾向を測定するベクトル演算子です。${\displaystyle \nabla \!\times }$

ベクトル計算演算子の物理学、工学、テンソル空間への拡張として、grad、div、curl演算子もベクトル計算だけでなくテンソル計算と関連付けられることが多い。 ^[3]

幾何学では、ベクトル空間上の追加の構造が研究されることがあります。そのようなベクトル空間をそれ自身に全単射に写像する演算子はこれらの研究に非常に有用であり、それらは合成によって自然に群を形成します。

たとえば、ベクトル空間の構造を保存する全単射作用素は、まさに可逆な 線型作用素です。これらは合成によって一般線型群を形成します。しかし、これらは作用素の加法によってベクトル空間を形成しません。たとえば、恒等作用素と - 恒等作用素はどちらも可逆(全単射) ですが、それらの和 0 は可逆ではないためです。

このような空間上でユークリッド距離を保存する演算子は等長群を形成し、原点を固定する演算子は直交群と呼ばれるサブグループを形成します。直交群内の演算子でベクトル組の方向も保存するものは、特殊直交群、または回転群を形成します。

確率論には、期待値、分散、共分散などの演算子も関係しており、数値統計とそれを生成する演算子の両方に名前を付けるために使用されます。実際、すべての共分散は基本的にドット積です。すべての分散はベクトルとそれ自身のドット積であり、したがって2次ノルムです。すべての標準偏差はノルム（2次ノルムの平方根）です。このドット積に対応するコサインはピアソン相関係数です。期待値は基本的に積分演算子です（空間内の重み付き形状を測定するために使用されます）。

フーリエ変換は応用数学、特に物理学と信号処理で有用である。これは別の積分演算子であり、主に、ある（時間）領域上の関数を別の（周波数）領域上の関数に、実質的に可逆な方法で変換するため有用である。逆変換演算子があるため、情報は失われない。周期関数の単純なケースでは、この結果は、任意の連続周期関数は一連の正弦波と余弦波の和として表すことができるという定理に基づいている。タプル（a ₀、a ₁、b ₁、a ₂、b ₂、...）は、実際には無限次元ベクトル空間ℓ ²の要素であり、したがってフーリエ級数は線形演算子である。 $${\displaystyle f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)}$$

一般関数を扱う場合、変換は積分形式をとります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }}$$

ラプラス変換は別の積分演算子であり、微分方程式を解くプロセスを簡略化するのに使用されます。

f = f ( s )とすると、次のように定義されます。$${\displaystyle F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t}$$

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