ボルテッラ演算子

数学において、関数解析と作用素論の分野において、ヴィトー・ヴォルテラにちなんで名付けられたヴォルテラ作用素は、区間 [ 0,1] 上の複素数値の二乗可積分関数の空間L ^{2 [0,1] 上の}有界線型作用素である。連続関数の部分空間C [0,1]上では不定積分を表す。これは、ヴォルテラ積分方程式に対応する作用素である。

ボルテラ演算子Vは、関数f∈L2[0,1]と値t∈[0,1]に対して次のように定義 さ ^れる。[  1 ^]

${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$

• Vはヒルベルト空間間の有界線型作用素であり、エルミート随伴作用素 $${\displaystyle V^{*}(f)(t)=\int _{t}^{1}f(s)\,ds.}$$
• Vはヒルベルト・シュミット作用素なので、特にコンパクトである。^[2]
• Vには固有値がないので、コンパクト演算子のスペクトル理論により、そのスペクトルは σ ( V )={0}となる。^{[2] [3]}
• Vは準零演算子（つまり、スペクトル半径ρ ( V ) がゼロ）ですが、冪零演算子ではありません。
• Vの演算子ノルムは正確に|| V || = ² ⁄ _πである。^[2]

• 積分積分

• ゴーバーグ、イスラエル; クライン、MG (1970)。ヒルベルト空間におけるボルテラ作用素の理論と応用。プロビデンス:アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3627-7。