乗算器（フーリエ解析）

フーリエ解析において、乗数演算子は線形演算子、つまり関数の変換の一種です。これらの演算子は関数に作用して、そのフーリエ変換を変更します。具体的には、関数のフーリエ変換に、乗数または記号と呼ばれる特定の関数を乗算します。乗数演算子という用語自体が、単に乗数と短縮されることもあります。^[1]簡単に言えば、乗数は関数に含まれる周波数を作り直します。このクラスの演算子は広範囲に及ぶことがわかります。一般理論では、いくつかの (非常に緩やかな) 正則性条件に従うグループ上の変換不変演算子は乗数演算子として表現できること、またその逆があることが示されています。^[2]変換や微分などのよく知られた演算子の多くは乗数演算子ですが、ヒルベルト変換などのより複雑な例も数多くあります。

信号処理では、乗算器演算子は「フィルター」と呼ばれ、乗算器はフィルターの周波数応答（または伝達関数）です。

より広い文脈では、乗算演算子はスペクトル乗算演算子の特殊なケースであり、演算子（または可換演算子の族）の関数計算から生じます。また、擬微分演算子の特殊なケースでもあり、より一般的にはフーリエ積分演算子です。この分野には、 L ^p境界乗算演算子の特徴付けなど、まだ解決されていない自然な質問があります（以下を参照）。

乗数演算子は、どちらも乗算演算を伴うという点を除いて、 ラグランジュ乗数とは無関係です。

フーリエ変換に関する必要な背景情報については、そのページを参照してください。追加の重要な背景情報については、演算子ノルムとL ^p空間のページに説明があります。

単位円上で定義された周期関数の設定では、関数のフーリエ変換は単にそのフーリエ係数の列です。微分が乗数として実現できることを確認するには、周期関数の微分に対するフーリエ級数を考えます。フーリエ係数の定義で 部分積分を使用すると、次のようになります。${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$。

したがって、形式的には、導関数のフーリエ級数は、単に のフーリエ級数に係数 を掛けたものになります。これは、微分が乗数 を持つ乗数演算子であると言うことと同じです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle 中}$${\displaystyle 中}$

実数直線上の関数に作用する乗算演算子の例としては、ヒルベルト変換が挙げられます。ヒルベルト変換は、乗数が（sgn は符号関数）で与えられる乗算演算子であることが示されます。 ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

最後に、乗数のもう一つの重要な例は、フーリエ変換の「部分和」の研究で生じる単位立方体の特性関数です ( 「フーリエ級数の収束」を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

乗数演算子は、フーリエ変換も定義されている任意の群G（特に、任意の局所コンパクトアーベル群）上で定義できます。一般的な定義は次のとおりです。 が十分に正則な関数である場合、 はそのフーリエ変換を表します（ここで はGのポントリャーギン双対です）。 が別の関数を表すとします。これを乗数と呼びます。このシンボルmに関連付けられた乗数演算子は、次の式で定義されます。 ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi )。$

言い換えると、周波数 ξ におけるTfのフーリエ変換は、その周波数におけるfのフーリエ変換にその周波数における乗数の値を乗じて求められます。これが「乗数」という用語の意味です。

上記の定義は Tf を暗黙的に定義しているだけであることに注意してください。Tf を明示的に復元するには、フーリエ変換を逆にする必要があります。これは、fとm の両方が十分に滑らかで積分可能である場合、簡単に行うことができます。この主題の主な問題の 1 つは、指定された任意の乗数mについて、 f の規則性が非常に低い場合、たとえばL ^p空間に存在すると想定されている場合に、対応するフーリエ乗数演算子が引き続き適切に定義されているかどうかを判断することです。以下の「有界性の問題」に関する説明を参照してください。最低限、乗数m は有界で測定可能であることが通常要求されます。これは での有界性を確立するのに十分ですが、一般に他の空間での有界性を与えるには十分ではありません。 ${\displaystyle L^{2}}$

乗算演算子T は、フーリエ変換、 mによる点ごとの乗算、逆フーリエ変換という 3 つの演算子の合成として考えることができます。同様に、T は点ごとの乗算演算子とフーリエ変換の共役です。したがって、乗算演算子は、フーリエ変換によって対角化された演算子と考えることができます。

ここで、上記の一般的な定義を特定の群Gに特化します。まず、 G上の単位円関数は実数直線上の 2π 周期関数として考えることができます。この群では、ポントリャーギン双対は整数の群であり、フーリエ変換 (十分に正則な関数fの場合) は次のように与えられます。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

逆フーリエ変換は次のように表される。

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

この設定での乗数は単なる数字の列であり、この乗数に関連付けられた演算子は次の式で与えられます。 ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

少なくとも、乗数と関数fの選択が十分に適切であれば、このようになります。 ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

ここで、 Gをユークリッド空間 とする。ここで、双対群もユークリッドであり、フーリエ変換と逆フーリエ変換は、次の式で与えられる。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

この設定における乗数は関数であり、関連する乗数演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

ここでも、乗数と関数に関して十分に強い規則性と有界性の仮定を仮定します。

分布の意味では、乗算演算子と畳み込み演算子の間に違いはありません。すべての乗算演算子T は、分布Kに対してTf = f ∗ Kという形式で表現することもできます。これはTの畳み込みカーネルとして知られています。この観点から、量x _{0による平行移動は}ディラックのデルタ関数δ(· −  x ₀ )との畳み込みであり、微分は δ' との畳み込みです。さらに例を下の表に示します。

次の表は、単位円上の乗算演算子の一般的な例を示しています。${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

次の表は、ユークリッド空間上の乗算演算子の一般的な例を示しています。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

この写像はC*-代数の準同型写像です。これは、2 つの乗算演算子 と の和が乗数 を持つ乗算演算子であること、これら 2 つの乗算演算子の合成が乗数 を持つ乗算演算子であること、乗算演算子の随伴が乗数 を持つ別の乗算演算子であることから生じます。 ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T_{m'}}$${\displaystyle m+m'}$${\displaystyle mm',}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle {\overline {m}}}$

特に、任意の 2 つの乗算演算子は互いに可換であることがわかります。乗算演算子は変換不変であることが知られています。逆に、 L ² ( G ) で制限される任意の変換不変線形演算子は乗算演算子であることが示されます。

与えられた群GのL ^p有界性問題(任意の特定のpについて)は、簡単に言えば、対応する乗数演算子がL ^p ( G )からL ^p ( G ) に有界となるような乗数mを特定することです。このような乗数は、通常単に「 L ^p乗数」と呼ばれます。乗数演算子は常に線形であるため、このような演算子が有界となるのは、それらが連続する場合のみであることに注意してください。この問題は一般に非常に難しいと考えられていますが、多くの特殊なケースを扱うことができます。この問題はpに大きく依存しますが、双対関係があります。つまり、 1 ≤ p、q ≤ ∞ の場合、乗数演算子がL ^pに有界となるのは、それがL ^qに有界となる場合のみです。 ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

Riesz -Thorin 定理は、乗数演算子が 2 つの異なるL ^p空間で有界である場合、すべての中間空間でも有界であることを示しています。したがって、乗数の空間はL ¹とL ^{∞に対して最小であり、最大の乗数空間を持つ}L ²に近づくにつれて大きくなります。

これは最も簡単なケースです。パーセバルの定理により、この問題を完全に解決し、関数mがL ² ( G ) 乗数となるのは、それが有界かつ測定可能である場合のみであることがわかります。

このケースはヒルベルト( L ² ) の場合よりも複雑ですが、完全に解決されています。次のことが当てはまります。

定理:ユークリッド空間 において、関数がL ¹乗数 ( L ^{∞乗数と同義) となるのは、有限の}ボレル測度μ が存在し、 m がμ のフーリエ変換である場合のみです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m(\xi )}$

(「if」の部分は単純な計算です。ここでの「only if」の部分はより複雑です。)

この一般的なケースでは、ユークリッド空間や単位円であっても、有界性に対する必要十分条件は確立されていません。しかし、いくつかの必要条件と十分条件はわかっています。たとえば、乗数演算子が単一のL ^p空間上でも有界であるためには、乗数が有界かつ測定可能でなければならないことがわかっています (これは上記のL ^{2乗数の特徴付けと包含特性からわかります)。しかし、これは}p = 2 の場合を除いて十分ではありません。

有界性のための十分な条件を与える結果は、乗数定理として知られています。以下にそのような結果を 3 つ示します。

を^、任意の集合上で連続的に微分可能^で、次のように導関数を持つ 有界関数とする。${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

このとき、m は1 < p < ∞ すべてに対してL ^p乗数になります。

m を、原点を除いて滑らかであり、すべての整数に対して有界となるような有界関数とします。このとき、m は、すべての1 < p < ∞に対してL ^p乗数です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

これは、ヘルマンダー-ミクリン乗数定理の特殊なケースです。

これら 2 つの定理の証明は、カルデロン-ジグムント理論とマルチンキエヴィチの補間定理の技法を必要とするため、かなり複雑です。元の証明については、ミクリン (1956) またはミクリン (1965、225 ～ 240 ページ) を参照してください。

ラジアル乗数の場合、有界性に対する必要十分条件は、の一部の範囲で知られています。 およびとします。 が原点から離れてコンパクトに支えられたラジアル乗数であると仮定します。のフーリエ変換がに属する場合のみ、 は乗数です。 ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 4}$${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

これはHeo、 Nazarov、Seegerの定理である。^[3]彼らはまた、 上のコンパクトサポート仮定なしで有効な必要十分条件を提供した。 ${\displaystyle m}$

変換は任意のL ^p上の有界演算子です。微分は任意のL ^p上で有界ではありません。ヒルベルト変換は、p が厳密に 1 と ∞ の間にある場合にのみ有界です。ステップ関数のヒルベルト変換が有界でないことはよく知られているため、L ^∞上で有界でないことは簡単です。双対性により、 p = 1の場合も同じになります。ただし、 Marcinkiewicz と Mikhlin の乗数定理はどちらも、 1 < p < ∞のすべての場合において、ヒルベルト変換がL ^p上で有界であることを示しています。

単位円上の別の興味深いケースは、乗数として提案されているシーケンスが各セットでnに対して一定である場合です。Marcinkiewicz の乗数定理 (単位円のコンテキストに適合) から、そのようなシーケンス (もちろん、有界であると仮定) ^{[説明が必要]は、すべての}1 < p < ∞に対して乗数であることがわかります。 ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

1 次元では、ディスク乗数演算子(上の表を参照) は、 1 < p < ∞の任意の値に対してL ^pで有界です。しかし、 1972 年にCharles Fefferman は、 2 次元以上では、ディスク乗数演算子は、p ≠ 2 の任意の値に対してL ^pで無界であるという驚くべき結果を示しました。ボクナー・リース乗数に関する対応する問題は部分的にしか解決されていません。ボクナー・リース予想も参照してください。 ${\displaystyle S_{R}^{0}}$${\displaystyle S_{R}^{0}}$

• カルデロン・ジグムントの補題
• マルチンキエヴィチの定理
• 特異積分
• 畳み込み型の特異積分演算子

• ドゥオアンドコエチェア、ハビエル（2001）、フーリエ解析、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2172-5
• スタイン、エリアス M. (1970)、特異積分と関数の微分可能性、プリンストン大学出版

• Grafakos, Loukas (2008)、Classical Fourier Analysis (第 2 版)、Springer、ISBN 978-0-387-09431-1
• カツネルソン、イツハク（2004）『調和解析入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960)、「L ^p空間における変換不変演算子の推定」、Acta Mathematica、104 : 93–140、doi : 10.1007/bf02547187
• ヘルマンダー、ラース(1990)、「線形偏微分演算子の解析、I. 分布理論とフーリエ解析(第 2 版)」、Springer-Verlag、ISBN 3-540-52343-X
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• ミクリン、ソロモン G. (1965)、「多次元特異積分と積分方程式」、国際純粋および応用数学モノグラフシリーズ、第 83 巻、ペルガモン プレス、Zbl  0129.07701これには、歴史の概要を含む、出版時点で知られているすべての結果の包括的な調査が含まれています。
• ルディン、ウォルター（1962）、群のフーリエ解析、インターサイエンス
• トーチンスキー、アルベルト（2004）、調和解析における実変数法、ドーバー、ISBN 0-486-43508-3