放射関数

数学において、放射状関数とは、ユークリッド空間上で定義された実数値関数である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$各点におけるその値は、その点と原点との距離のみに依存します。距離は通常、ユークリッド距離です。たとえば、2 次元の動径関数Φ は次の形式になります^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Phi (x,y)=\varphi (r),\quad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ ここで、φは単一の非負の実変数の関数です。動径関数は球面関数と対比され、ユークリッド空間上の任意の降下関数 (例えば、連続かつ急速に減少する関数) は、動径部分と球面部分からなる級数に分解できます。これが球面調和関数展開です。

関数が動径関数であるのは、原点を固定したままのすべての回転に対して不変である場合に限る。つまり、fが動径関数であるのは、 $${\displaystyle f\circ \rho =f\,}$$すべてのρ ∈ SO( n ) に対して、n次元の特殊直交群。この動径関数の特徴付けにより、動径分布を定義することも可能になります。これらは、上の分布Sです。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠そのため $${\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$$ すべてのテスト関数φと回転ρについて。

任意の（局所的に積分可能な）関数fに対して、その動径部分は原点を中心とする球面上で平均化することによって与えられる。すなわち、 $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{S^{n-1}}f(rx')\,dx'}$$ ここで、ω _{n − 1 は}( n − 1) 球S ^{n − 1}の表面積であり、r = | x |、x ′ = x / rである。フビニの定理により、局所的に積分可能な関数は、ほとんどすべてのrにおいて明確に定義された動径部分を持つことが本質的に導かれる。

動径関数のフーリエ変換も動径関数であるため、動径関数はフーリエ解析において重要な役割を果たします。さらに、動径関数のフーリエ変換は、非動径関数よりも無限遠で減衰が強いのが一般的です。原点の近傍で有界な動径関数の場合、フーリエ変換はR ^{− ( n − 1)/2}よりも速く減衰します。ベッセル関数は、ラプラシアンの動径固有関数としてフーリエ解析に自然に現れる特殊なクラスの動径関数であり、そのためフーリエ変換の動径部分として自然に現れます。

• 動径基底関数

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), 『ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門』、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08078-9。