マリアヴァン計算

確率論および関連分野において、マリアヴァン計算は、変分法の数学的分野を決定論的関数から確率過程に拡張する数学的手法とアイデアの集合である。特に、ランダム変数の導関数の計算を可能にする。マリアヴァン計算は確率変分法とも呼ばれる。P. マリアヴァンは、最初に無限次元空間での計算を開始した。その後、S. 楠岡、D. ストロック、 JM. ビスムット、渡辺真三、I. 重川などの重要な貢献者によって、最終的に基礎が完成された。

マリアヴァン計算は、ヘルマンダーの条件が確率微分方程式の解の密度の存在と滑らかさを意味することを証明したポール・マリアヴァンにちなんで名付けられました。ヘルマンダーの最初の証明は偏微分方程式の理論に基づいていました 。この計算は確率偏微分方程式にも 適用されています。

この計算はランダム変数の部分積分を可能にし、数理ファイナンスでは金融派生商品の感度を計算するのに使われます。この計算は、例えば確率的フィルタリングに応用されています。

マリアヴァンは、ヘルマンダーの条件が確率微分方程式の解の密度の存在を意味することを確率的に証明するためにマリアヴァン計算を導入した。ヘルマンダーの最初の証明は偏微分方程式の理論に基づいていた 。彼の計算により、マリアヴァンは解の密度の正則性境界を証明することができた。この計算は確率偏微分方程式に適用されている。

ウィーナー関数（ 古典的なウィーナー空間からの関数）を考え、その微分を求めることを考えてみましょう。自然なアイデアはガトー微分を使うことです。${\displaystyle F}$

${\displaystyle D_{g}F:=\left.{\frac {d}{d\tau }}F[f+\tau g]\right|_{\tau =0},}$

しかし、これは常に存在するわけではありません。したがって、方向を制限することによって、そのような空間の新しい微分積分を見つけることは理にかなっています。

マリアバン計算のおもちゃのモデルは、既約なガウス確率空間 です。これは、すべてが平均 0 のガウス変数であり、であるような閉じた部分空間を伴う(完全な) 確率空間です。 の基底を選択すると、数値モデルと呼ばれます。一方、任意の可分ヒルベルト空間に対して、のガウス部分空間を持つ、シーガルモデル(アーヴィング・シーガルにちなんで名付けられました)と呼ばれる標準的な既約なガウス確率空間が存在します。この場合、 に対して、 の関連するランダム変数を と表記します。 ${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (H:H\in {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$${\displaystyle W(g)}$

ガウス確率空間の特性のうち、基底の特定の選択に依存しないものは、固有 と呼ばれ、 は外部 の選択に依存するものと呼ばれます。^[1]実空間の可算無限積を と表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$

キャメロン・マーティン定理の現代版を思い出してください

円筒ガウス測度を持つ局所凸ベクトル空間を 考える。位相双対の要素について、平均までの距離を定義する。${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle f\in E'}$

${\displaystyle t_{\gamma }(f):=f-\int _{E}f(x)\gamma (\mathrm {d} x),}$

これは写像であり、閉包を次のように表す。${\displaystyle t_{\gamma }\colon E'\to L^{2}(E,\gamma )}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma )}$

${\displaystyle E_{\gamma }':=\operatorname {clos} \left\{t_{\gamma }(f)\colon \ f\in E'\right\}}$

平行移動を と表記する。すると、その上の共変性演算子はそれぞれ、キャメロン・マーティン空間と呼ばれる再生核ヒルベルト空間を誘導し、任意の に対して が同値となる。${\displaystyle \gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)}$${\displaystyle m\in E}$${\displaystyle E_{\gamma }'}$ ${\displaystyle R_{\gamma }:E_{\gamma }'\to (E_{\gamma }')^{*}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \gamma _{m}\sim \gamma }$^[2]

実際、フェルドマン・ハイェックの定理を使用すると、他のそのような測度では が特異になることが分かります。 ${\displaystyle h\not \in R}$

を標準ガウス測度とすると、 からのキャメロン・マーティン定理を数値モデル に移すことで、 の加法群は上の準自己同型群を定義します。構築は次のように行うことができます。 の正規直交基底を選択し、上の変換を で表し、 キャメロン・マーティン空間への写像を で表し、 と表します。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} }=\otimes _{n\in \mathbb {N} }\gamma )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \tau _{\alpha }(x)=x+\alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}}$

${\displaystyle L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=\bigcap \limits _{p<\infty }L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\quad }$そして${\displaystyle \quad q:L^{\infty -0}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} })\to L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P),}$

自己準同型に作用する加法群の標準的な表現は次のように定義 される。${\displaystyle \rho :{\mathcal {H}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))}$

${\displaystyle \rho (h)=q\circ \tau _{j(h)}\circ q^{-1}.}$

の作用は外在的であり、つまり の基底の選択に依存しないことを示すことができる。 さらに の、そして の無限小生成子の${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho (h+h')=\rho (h)\rho (h')}$${\displaystyle h,h'\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (\rho (h))_{h}}$

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\rho (\varepsilon h)-I}{\varepsilon }}=M_{h}}$

ここで は恒等演算子であり、 はランダム変数による乗算演算子（自己準同型に作用する）を表す 。任意のヒルベルト空間とシーガル模型の場合、（したがって）。すると、上の極限はに関連付けられたランダム変数による乗算演算子になる。^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle M_{h}}$${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$${\displaystyle j:{\mathcal {G}}\to \ell ^{2}}$${\displaystyle \rho :{\mathcal {G}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))}$${\displaystyle W(g)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

とに対して、方向微分を定義する。 ${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \langle DF,h\rangle =D_{h}F=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\left(\rho (\varepsilon h)-I\right)F}{\varepsilon }}.}$

ヒルベルト空間とガウス空間を持つシーガルモデルが与えられている。部分積分公式 を導くことができる。${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Seg} (H)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{W(h):h\in H\}}$${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \mathbb {E} [D_{h}F]=\mathbb {E} [M_{W(h)}F]=\mathbb {E} [W(h)F]}$^[4 ]

実数直線全体にわたるルベーグ積分に対する通常の不変性原理は、任意の実数 ε と積分可能な関数fに対して、次の式が成り立つという ものである。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)}$そしてそれゆえ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}$

これは部分積分公式を導くために使用できる。なぜなら、f = ghと設定すると、

${\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}$

同様の考え方は、キャメロン・マーティン・ギルサノフ方向の微分に対する確率解析にも適用できる。実際、を平方積分可能な予測可能な過程とし、 ${\displaystyle h_{s}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

がウィーナー過程である場合、ギルサノフの定理は不変性原理の次のような類似物を導きます。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}$

両辺をεについて微分し、ε=0で評価すると、次の部分積分公式が得られます。

${\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.}$

ここで、左辺は方向のランダム変数のマリアバン微分であり、右辺に現れる積分は伊藤積分として解釈されるべきである。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi }$

マリアヴァン計算の最も有用な結果の 1 つは、マルチンゲール表現定理のプロセスを明示的に識別すること を可能にするクラーク - オコーネ定理です。この定理の簡略版は次のとおりです。

正準空間 上の標準ウィーナー測度とその正準フィルタリングについて考える。を満たすに対してはリプシッツであり、F はC [0,1] においてに対して となる意味で強い微分核を持つ。${\displaystyle C[0,1]}$${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle E(F(X)^{2})<\infty }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}$

それから

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$

ここで、HはF '( x , ( t ,1])の可視射影であり、これは関数Fをその定義域の一部( t ,1])にわたってプロセスXを適切に平行移動させたときの微分として見ることができる。

これをもっと簡潔に表現すると、

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F\mid {\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}$

マリアヴァン計算の正式な開発における作業の多くは、上で使用した微分カーネルを、結果の上記の記述で示された「マリアヴァン微分」に置き換えることによって、この結果を関数Fの可能な限り最大のクラスに拡張することである。 ^{[引用が必要]}${\displaystyle D_{t}}$

慣例的にδと表記されるスコロホッド積分作用素は、ヒルベルト空間が空間であるときの白色ノイズの場合のマリアヴァン微分の随伴作用素として定義される。したがって、の部分集合である作用素の領域内のuに対して、マリアヴァン微分の領域内の Fに対して、次式が成立する必要がある。${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$

${\displaystyle E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),}$

ここで内積は、 ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.}$

この随伴作用素の存在は、ヒルベルト空間上の線型作用素に対するリースの表現定理から導かれます。

uが適応される と、

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

ここで積分は伊藤の意味で理解される。したがって、これは伊藤積分を非適応積分関数に拡張する方法を提供する。

この計算は、確率変数の部分積分を可能にし、数理ファイナンスにおいて金融派生商品の感度を計算するために使用されます。この計算は、例えば確率的フィルタリングに応用されています。

• 楠岡 誠、ストロック 大澤 剛 (1981)「マリアビン微積分の応用 I」、確率解析、谷口国際シンポジウム堅田・京都1982 講演論文集、271～306 ページ
• 楠岡 誠、ストロック 大 (1985)「マリアビン微積分の応用 II」、東京大学理学部誌、1A 数学編、32 pp 1–76
• 楠岡 誠、ストロック 大 (1987)「マリアビン微積分の応用 III」、東京大学理学部誌、第 1A 部、数学、34 pp 391–442
• ポール・マリアヴィン、アントン・タルマイアー共著『数理ファイナンスにおける変分法の確率計算』、Springer 2005、ISBN 3-540-43431-3 
• ヌアルト、デイヴィッド (2006)。マリアヴァン計算と関連トピック(第 2 版)。Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-28328-7。
• ベル、デニス。(2007)マリアヴァン微積分、ドーバー。ISBN 0-486-44994-7 ; 電子書籍 
• Sanz-Solé, Marta (2005) Malliavin Calculus, with applications to stochastic partial different equations . EPFL Press、CRC Press、Taylor & Francis Group が配布。
• シラー、アレックス (2009) 金融アプリケーションにおけるモンテカルロシミュレーションのためのマリアバン計算。プリンストン大学数学部論文
• Øksendal, Bernt K. (1997) マリアビン微積分入門と経済学への応用。講義ノート、オスロ大学数学部 (論文と補遺を含む Zip ファイル)
• Di Nunno, Giulia 、Øksendal, Bernt、 Proske , Frank (2009)「Lévy Processes のマリアヴァン計算と金融への応用」、Universitext、Springer。ISBN 978-3-540-78571-2 

• ウィキクォートにおけるマリアヴァン計算に関する引用
• Friz, Peter K. (2005-04-10). 「マリアヴァン微積分入門」(PDF)。2007-04-17 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2007-07-23に取得。講義ノート、43ページ

• Zhang, H. (2004-11-11). 「マリアヴァン計算」(PDF) . 2004-11-11に閲覧。論文、100ページ