マリアビン誘導体

数学において、マリアヴァン微分はマリアヴァン計算における微分の概念である。直感的には、これは古典的なウィーナー空間の経路に適切な微分の概念であり、通常の意味では「通常は」微分可能ではない。^[要出典]

をキャメロン・マーティン空間とし、古典ウィーナー空間を表す： ${\displaystyle H}$${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle H:=\{f\in W^{1,2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\;|\;f(0)=0\}:=\{{\text{0 から始まり、 }}L^{2} で 1 次導関数をとるパス\}}$;

${\displaystyle C_{0}:=C_{0}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{0から始まる連続パス}}\};}$

ソボレフの埋め込み定理 により、${\displaystyle H\subset C_{0}}$

${\displaystyle i:H\to C_{0}}$

包含マップを表します。

がフレシェ微分可能であると仮定する。するとフレシェ微分は写像である。 ${\displaystyle F:C_{0}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {D} F:C_{0}\to \mathrm {Lin} (C_{0};\mathbb {R} );}$

つまり、経路 に対して、はの元であり、への双対空間である。 を、次のように定義される 連続線型写像で表す。${\displaystyle \sigma \in C_{0}}$${\displaystyle \mathrm {D} F(\sigma )\;}$${\displaystyle C_{0}^{*}}$${\displaystyle C_{0}\;}$${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(\sigma )\;}$ ${\displaystyle H\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F(\sigma ):=\mathrm {D} F(\sigma )\circ i:H\to \mathbb {R} ,}$

はH微分とも呼ばれる。ここで、を次の意味での 随伴関数として定義する。${\displaystyle \nabla_{H}F:C_{0}\to H}$${\displaystyle \mathrm {D} _{H}F\;}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\left(\partial _{t}\nabla _{H}F(\sigma )\right)\cdot \partial _{t}h:=\langle \ナブラ _{H}F(\sigma ),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(\sigma )(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(\sigma +ti(h))-F(\sigma )}{t}}.}$

マリアヴァン導関数 は次のように定義される 。${\displaystyle \mathrm {D} _{t}}$

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{t}F\right)(\sigma ):={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\left(\nabla _{H}F\right)(\sigma )\right).}$

の領域は、 上のすべてのフレシェ微分可能実数値関数の集合です。余領域は です。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{t}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle C_{0}\;}$${\displaystyle L^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})}$

スコロホッド積分は、 マリアヴァン微分の 随伴として定義されます。${\displaystyle \delta \;}$

${\displaystyle \delta :=\left(\mathrm {D} _{t}\right)^{*}:\operatorname {image} \left(\mathrm {D} _{t}\right)\subseteq L ^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {F} ^{*}=\mathrm {Lin} (\mathbf {F} ;\mathbb {R} ).}$

• H導関数