ガウス確率空間

確率論、特にマリアヴァン計算において、ガウス確率空間は、平均がゼロで実数値のガウス確率変数のヒルベルト空間を伴う確率空間である。重要な例としては、ガウス確率変数の適切な集合を伴う古典的または抽象的なウィーナー空間が挙げられる。^{[1] [2]}

ガウス確率 空間は ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

• （完全な）確率空間、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
• ガウス空間と呼ばれる閉じた線形部分空間 で、すべてが平均 0 のガウス変数である。それらのσ 代数は と表記される。${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$
• σ-代数は 横σ-代数と呼ばれ、次のように定義される。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }.}$^[3]

ガウス確率空間は、 のとき既約であると呼ばれる。そのような空間は と表記される。非既約空間は、部分空間を扱ったり、与えられた確率空間を拡張したりするために使用される。^[3]既約ガウス確率空間は、ガウス空間 の次元によって分類される。^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ガウス確率空間の部分 空間は ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

• 閉じた部分空間、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$
• およびが独立であり、となるような横方向確率変数の部分σ代数 。^[3]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$

例：

が閉部分空間を持つガウス確率空間であるとします。が におけるの直交補集合であるとします。直交性はと の間の独立性を意味するため、 はから独立していることがわかります。を介してを定義します。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{V}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$

なぜなら、私たちには があるからです。 ${\displaystyle G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)}$

ガウス確率空間が与えられた場合、円筒形確率変数の 代数を定義する。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}}$

ここで は の多項式であり、 は基本代数 と呼ばれます。任意の に対して が真です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} [X_{n},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$${\displaystyle p<\infty }$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

既約なガウス確率の場合、基本代数はすべてのに対して稠密な集合となる。^[4]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle p\in [1,\infty [}$

基底が選択された既約ガウス確率は数値モデルと呼ばれます。2つの数値モデルは、そのガウス空間の次元が同じである場合に同型です。 ^[4]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

可分ヒルベルト空間が与えられると、ガウス空間を持つ、シーガルモデル（アーヴィング・シーガルにちなんで名付けられた）と呼ばれる標準既約ガウス確率空間が常に存在する。この設定では、通常、要素 に対して、シーガルモデルの関連するガウス確率変数を と書く。この表記は等項ガウス過程の表記であり、通常、ガウス空間は 1 つによって定義される。すると、任意のヒルベルト空間を簡単に選択して、ガウス空間 を持つことができる。^[5]${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle W(g)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{W(g):g\in G\}}$

• マリアヴィン、ポール (1997)。確率解析。ベルリン、ハイデルベルク: シュプリンガー。doi : 10.1007 / 978-3-642-15074-6。ISBN 3-540-57024-1。