キャメロン・マーティン定理

数学において、キャメロン・マーティンの定理またはキャメロン・マーティンの公式（ロバート・ホートン・キャメロンとWT・マーティンにちなんで名付けられた）は、キャメロン・マーティン・ヒルベルト空間の特定の要素による変換によって抽象的なウィーナー測度がどのように変化するかを記述する測度論の定理である。

次元ユークリッド空間上の標準的なガウス測度は並進 不変ではない。（実際、ハールの定理により、スケールまで唯一の並進不変ラドン測度が存在する。それは、ここでは と表記される次元ルベーグ測度である。）代わりに、測定可能な部分集合はガウス測度を持つ。${\displaystyle \gamma^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.}$

ここで はにおける標準的なユークリッド内積を指します。のベクトルによるの平行移動のガウス測度は ${\displaystyle \langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h\in \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{n}(Ah)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left (-{\tfrac {1}{2}}\langle xh,xh\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n }}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x, x\rangle _{\数学{R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

したがって、 を介した変換では、ガウス測度は最後の表示に現れる分布関数によってスケールされます。 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n }}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right)。}$

集合に数を関連付ける測度はプッシュフォワード測度で、 と表記されます。ここで は変換マップ を指します。上記の計算は、プッシュフォワード測度の元のガウス測度に関する ラドン・ニコディム微分が次のように与えられることを示しています。${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma _{n}(ああ)}$${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\ exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\右)。}$

可分バナッハ空間上の抽象ウィーナー測度(ここでは抽象ウィーナー空間 )も、適切な意味で「ガウス測度」です。これは平行移動によってどのように変化するでしょうか。稠密な部分空間の要素による平行移動のみを考慮すると、上記と同様の式が成り立つことがわかります。 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle i(H)\subseteq E}$

を抽象ウィーナー測度を持つ抽象ウィーナー空間とする。に対して、によって定義される。すると はラドン・ニコディム微分 で と 等価になる。${\displaystyle i:H\to E}$${\displaystyle \gamma :\operatorname {ボレル} (E)\to [0,1]}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle T_{h}:E\to E}$${\displaystyle T_{h}(x)=x+i(h)}$${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),}$

どこ

${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)}$

はペイリー・ウィーナー積分を表します。

キャメロン・マーティンの公式は、キャメロン・マーティン空間と呼ばれる稠密な部分空間 の要素による変換に対してのみ有効であり、 の任意の要素による変換に対しては有効ではありません。キャメロン・マーティンの公式が任意の変換に対して成立するとしたら、次の結果と矛盾することになります。 ${\displaystyle i(H)\subseteq E}$${\displaystyle E}$

が可分なバナッハ空間であり、が任意の平行移動で自身の前進と同値である 上の局所有限ボレル測度である場合、 は有限次元を持つか、またはは自明な（ゼロの）測度です。（準不変測度を参照してください。）${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu }$

実際、は のときのみ、要素による平行移動に対して準不変です。 のベクトルは、 Cameron–Martin 方向と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\in i(H)}$${\displaystyle i(H)}$

円筒ガウス測度を持つ局所凸ベクトル空間を 考える。位相双対の要素について、平均までの距離を定義する。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f\in E'}$

${\displaystyle t_{\gamma }(f):=f-\int _{E}f(x)\gamma (\mathrm {d} x),}$

そして閉包を次のように表す。${\displaystyle L^{2}(E,\gamma )}$

${\displaystyle E_{\gamma }':=\operatorname {clos} \left\{t_{\gamma }(f)\colon \ f\in E'\right\}}$。

平行移動を と表記する。すると、その上の共変性演算子はそれぞれ、キャメロン・マーティン空間と呼ばれる再生核ヒルベルト空間を誘導し、任意の に対して が同値となる。^[1]${\displaystyle \gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)}$${\displaystyle m\in E}$${\displaystyle E_{\gamma }'}$ ${\displaystyle R_{\gamma }:E_{\gamma }'\to (E_{\gamma }')^{*}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \gamma _{m}\sim \gamma }$

キャメロン・マーティン公式は、の部分積分公式を導く。 が有界なフレシェ微分 を 持つ場合、キャメロン・マーティン公式をウィーナー測度に関して両辺で積分すると、 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F:E\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}}$

${\displaystyle \int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)}$

任意の について。 について形式的に微分し、 で評価すると、部分積分公式が得られる。 ${\displaystyle t\in \mathbf {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).}$

ベクトル解析の発散定理との比較から、

${\displaystyle \mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },}$

ここで、 はすべての に対して定数の「ベクトル場」です。より一般的なベクトル場を考え、確率積分を「発散」として考えたいという思いから、確率過程とマリアバン計算、特にクラーク・オコーネの定理とそれに関連する部分積分公式の研究が生まれました。 ${\displaystyle V_{h}:E\to E}$${\displaystyle V_{h}(x)=i(h)}$${\displaystyle x\in E}$

キャメロン・マーティン定理を用いると、対称非負定常行列において要素が連続で次の条件を満たす場合、 ${\displaystyle q\times q}$ ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle H_{j,k}(t)}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,}$

−次元ウィーナー過程に対しては、 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w(t)}$

${\displaystyle E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],}$

ここで、は行列値リカッチ微分方程式の唯一の解である非正定値行列である。${\displaystyle G(t)}$${\displaystyle q\times q}$

${\displaystyle {\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)}$

境界条件付き。 ${\displaystyle G(T)=0}$

1 次元ブラウン運動の特殊なケースでは、唯一の解は であり、Cameron と Martin によって確立された元の式が得られます。 ${\displaystyle H(t)=1/2}$${\displaystyle G(t)=\tanh(t-T)}$$${\displaystyle E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.}$$

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