スコロホッド積分

数学において、スコロホード積分は、櫃田–スコロホード積分とも呼ばれ、しばしば と表記され、確率過程の理論において非常に重要な演算子です。この演算子は、ウクライナの数学者アナトリー・スコロホードと日本の数学者櫃田増之にちなんで名付けられました。この演算子の重要性の1つは、いくつかの概念を統合することです。 ${\displaystyle \delta}$

• ${\displaystyle \delta}$伊藤積分の非適応過程への拡張である。
• ${\displaystyle \delta}$は、確率変分法（マリアヴァン計算）の基礎となるマリアヴァン微分関数の随伴関数である。
• ${\displaystyle \delta}$は、古典的なベクトル計算からの発散演算子の無限次元一般化です。

この積分は1972年に櫃田によって導入された^[1]。また1975年にはスコロホッドによって導入された^[2]。

固定確率空間 とヒルベルト空間を考える。は、${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ).}$$

直感的に言えば、のランダム変数のマリアヴァン微分は、の要素によってパラメータ化されたガウスランダム変数で展開し、その展開を形式的に微分することによって定義されます。スコロホッド積分は、マリアヴァン微分に対する随伴演算です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle L^{p}(\オメガ )}$${\displaystyle H}$

ヒルベルト空間の要素でインデックス付けされた値のランダム変数の族を考える。さらに、それぞれがガウス（正規）ランダム変数であり、を写像する写像が線形写像であり、平均と共分散構造が次のように与えられる と仮定する。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle W(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle W(h)}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},}$$

および において、すべてに対してとなる。 が与えられれば、常に確率空間と上記の性質を持つランダム変数の族が存在することが示される。 マリアバン導関数は、ランダム変数の導関数をと形式的に設定し、この定義を「十分に滑らかな」ランダム変数に拡張することによって本質的に定義される。形式の ランダム変数に対して、${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$${\displaystyle W(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),}$$

ここで、は滑らかであり、マリアヴァン導関数は前述の「正式な定義」と連鎖律を使用して定義されます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.}$$

言い換えると、は実数値のランダム変数でしたが、その導関数は- 値のランダム変数であり、空間 の要素です。もちろん、この手順では「滑らかな」ランダム変数に対してのみ定義されますが、近似手順を使用しての大きな部分空間内でに対して定義することができます。の領域は、半ノルムにおける滑らかなランダム変数の閉包です 。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle \mathrm {D} }$

$${\displaystyle \|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.}$$

この空間は で表され、渡辺-ソボレフ空間と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$

簡単にするために、ここでは の場合だけを考えます。スコロホッド積分は、マリアヴァン微分 の -随伴関数として定義されます。が の全体で定義されなかったのと同様に、 はの全体で定義されません。 の領域は、のすべてのに対して となる定数が存在する の過程から構成されます。 ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle C(u)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}$$

における過程のスコロホッド積分は、 における実数値のランダム変数である。が の領域内にある場合、 は、すべての に対して、 という関係によって定義される。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle F\in \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}$$

マリアヴァン微分が単純で滑らかなランダム変数に対して最初に定義されたのと同様に、スコロホッド積分は「単純過程」に対して単純な表現を持つ。 ${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}$$

滑らかで、そして、 ${\displaystyle F_{j}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).}$$

• 等長変換特性:の領域内にあるの任意の過程に対して、が適応過程である場合、に対して となるため、右辺の第 2 項は消えます。その場合、スコロホード積分と伊藤積分は一致し、上記の式は伊藤等長変換となります。${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$${\displaystyle s>t}$
• スコロホッド積分の導関数は、 という式で与えられます。ここで、 は、 の「時間」におけるプロセスの値であるランダム変数を表します。$${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}$$${\displaystyle \mathrm {D} _{h}X}$${\displaystyle (\mathrm {D} X)(h)}$${\displaystyle \mathrm {D} X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$
• の確率変数と過程の積のスコロホッド積分は、次の式で与えられる。${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {dom} (\delta )}$$${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.}$$

スコロホッド積分の代替として、小川積分があります。

• 「スコロホッド積分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Ocone, Daniel L. (1988)。「確率変分法のガイド」。確率解析と関連トピック (Silivri、1986)。数学の講義ノート。1316。ベルリン: Springer。pp. 1–79。 MR953793​
• Sanz-Solé, Marta (2008)。「マリアバン計算の確率偏微分方程式への応用 (2008 年 7 月 7 ～ 11 日にインペリアル カレッジ ロンドンで行われた講義)」(PDF) 。2008 年 7 月 9 日に閲覧。