クラーク・オコーネの定理

数学において、クラーク・オコーネの定理（クラーク・オコーネ・ハウスマンの定理または公式とも呼ばれる）は、確率解析の定理である。これは、原点から始まる連続経路からなる古典的なウィーナー空間上で定義された関数Fの値を、その平均値と当該経路に関する伊藤積分の和として表す。この定理は、数学者JMCクラーク（1970年）、ダニエル・オコーネ（1984年）、UGハウスマン（1978年）の貢献にちなんで名付けられた。

C ₀ ([0, T ]; R ) (または単にC ₀と略記) をウィーナー測度 γ を持つ古典的なウィーナー空間とする。F : C 0 → _RをBC 1^関数、すなわちFは有界であり、有界導関数 D F : C ₀ → Lin( C ₀ ; R ) を持つフレシェ微分可能であるとする。このとき、           

${\displaystyle F(\sigma )=\int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)+\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

上記において

• F ( σ ) は、特定の関心のある経路σ上での関数Fの値です。
• 最初の積分、

${\displaystyle \int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)=\mathbf {E} [F]}$

は、ウィーナー空間C ₀全体におけるFの期待値です。

• 2番目の積分、

${\displaystyle \int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma (t)}$

これは伊藤積分である。

• Σ _∗はブラウン運動B : [0, T ] × Ω → Rの自然なフィルターであり、Σ _tは時間 0 ≤ s ≤ tのすべてのB _s ^{− 1} ( A )とボレル集合A ⊆ Rを含む最小のσ代数です。             
• E [·|Σ _t ] はシグマ代数 Σ _tに関する条件付き期待値を表します。
• ^∂ / _{∂ t は}時間tに関する微分を表し、∇ _HはH勾配を表します。したがって、^∂ / _{∂ t} ∇ _Hはマリアバン微分です。

より一般的には、この結論はマリアバンの意味で微分可能なL ² ( C ₀ ; R )内の任意のFに対して成り立つ。 

クラーク・オコーネの定理は、古典的なウィーナー空間における部分積分公式を導き出し、伊藤積分を発散として表す。

B を標準ブラウン運動とし、L 0 2,1 をC 0_の^{キャメロン}・_{マーティン}空間とする（抽象ウィーナー空間を参照）。V : C ₀ → L ₀ ^2,1を次のようなベクトル場とする。    

${\displaystyle {\dot {V}}={\frac {\partial V}{\partial t}}:[0,T]\times C_{0}\to \mathbb {R} }$

はL ² ( B ) に含まれる（すなわち、伊藤積分可能であり、したがって適応プロセスである）。F : C 0 → R_を上記のようにBC ¹とする。すると    

${\displaystyle \int _{C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma )(V(\sigma ))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=\int _{C_{0}}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm {d} \gamma (\sigma ),}$

つまり

${\displaystyle \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}}\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatorname {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )}$

または、 C ₀上の積分を期待値として記述すると次のようになります。

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}\langle \nabla _{H}F,V\rangle {\big ]}=-\mathbb {E} {\big [}F\operatorname {div} V{\big ]},}$

ここで、「発散」div( V )  : C ₀ → Rは次のように定義される。   

${\displaystyle \operatorname {div} (V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

確率積分を発散として解釈すると、スコロホッド積分やマリアバン微積分などの概念が生まれる。

• 古典ウィーナー空間の積分表現定理。証明にはクラーク・オコーンの定理を用いる。
• 部品オペレーターによる統合
• マリアバン解析

• ヌアラルト、デイヴィッド（2006）。マリアヴァン微積分と関連トピック。確率とその応用（ニューヨーク）（第2 版）。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-28328-7。

• Friz, Peter K. (2005-04-10). "マリアバン微積分入門" (PDF) . 2007-04-17 のオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2007-07-23に取得。