オルンシュタイン同型定理

数学において、オルンスタイン同型定理はエルゴード理論における深い結果である。これは、2つのベルヌーイ方式が同じコルモゴロフエントロピーを持つ場合、それらは同型であるということを述べている。^{[1] [2]}ドナルド・オルンスタインが1970年に与えたこの結果は、それまで無関係であると信じられていた多くのシステムが実際には同型であることを述べている点で重要である。これには、マルコフ連鎖や有限型のサブシフト、アノソフフローやシナイのビリヤード、n-トーラスのエルゴード自己同型、連分数変換など、すべての有限定常確率過程が含まれる。

この定理は、実際は関連する定理の集合です。最初の定理は、2 つの異なるベルヌーイ シフトが同じコルモゴロフ エントロピーを持つ場合、それらは動的システム として同型であると述べています。3 番目の定理は、この結果をフローに拡張します。つまり、がベルヌーイ シフトであるようなフローが存在するということです。4 番目の定理は、与えられた固定エントロピーに対して、このフローは時間の定数再スケーリングまで一意であると述べています。5 番目の定理は、無限のエントロピーを持つ単一の一意のフロー (時間の定数再スケーリングまで) が存在すると述べています。「時間の定数再スケーリングまで」という語句は、およびが同じエントロピーを持つ 2 つのベルヌーイ フローである場合、ある定数cに対して、ということを単に意味しています。この発展には、ベルヌーイシフトの因子がベルヌーイシフトと同型であることの証明も含まれており、与えられた測度保存力学系がベルヌーイシフトと同型であるための基準も与えられました。 ${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle S_{t}=T_{ct}}$

これらの結果から導かれる帰結は、ベルヌーイシフトの根本問題の解決である。つまり、例えばシフトTが与えられた場合、それに同型の 別のシフトが存在している。${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

同型性の問題はフォン・ノイマンに遡る。彼は2つのベルヌーイ方式BS(1/2, 1/2)とBS(1/3, 1/3, 1/3)が同型かどうかを尋ねた。1959年、ヤコブ・シナイとコルモゴロフは否定的な回答をし、2つの異なる方式が同じエントロピーを持たない場合、同型にはなり得ないことを示した。具体的には、ベルヌーイ方式BS( p ₁ , p ₂ ,..., p _n ^{)のエントロピーは[3] [4]}で与えられることを示した。

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

ドナルド・オーンスタインが1970年に証明したオーンスタイン同型定理は、同じエントロピーを持つ2つのベルヌーイ方式は同型であるというものである。この結果は鋭く、^[5]非常に類似した非方式系はこの性質を持たない、つまり、同じエントロピーを持ちながら同型ではないコルモゴロフ系が存在するという点で優れている。オーンスタインはこの研究で ボッチャー賞を受賞した。

シンボリックベルヌーイスキームの同型定理の簡略化された証明は、1979年にマイケル・S・キーンとM・スモロディンスキーによって与えられた。^{[6] [7]}

• スティーブン・カリコウ、ランドール・マカッチョン（2010）『エルゴード理論の概要』ケンブリッジ大学出版局
• ドナルド・オーンスタイン (2001) [1994]、「オーンスタイン同型定理」、数学百科事典、EMS プレス
• ドナルド・オーンスタイン（2008）「オーンスタイン理論」Scholarpedia、3（3）：3957。
• ダニエル・J・ルドルフ（1990）『測定可能なダイナミクスの基礎：ルベーグ空間上のエルゴード理論』オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ。クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1990年。ISBN 0-19-853572-4