リサージュ結び目

結び目理論において、リサジュー結び目は、次の形式の パラメトリック方程式によって定義される結び目である。

${\displaystyle x=\cos(n_{x}t+\phi _{x}),\qquad y=\cos(n_{y}t+\phi _{y}),\qquad z=\cos(n_{ z}t+\phi _{z}),}$

ここで、、、は整数であり、位相シフト、、は任意の実数である。^[1]${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle \phi_{x}}$${\displaystyle \phi_{y}}$${\displaystyle \phi_{z}}$

リサジュー結び目を 3 つの座標平面のいずれかに投影したものがリサジュー曲線であり、これらの結び目の性質の多くはリサジュー曲線の性質と密接に関連しています。

パラメータ化におけるコサイン関数を三角波に置き換えると、すべてのリサジュー結び目は立方体の内部にあるビリヤード曲線に同位体変換されます。これは、いわゆるビリヤード結び目の最も単純なケースです。ビリヤード結び目は、他の領域、たとえば円筒^[2]や（平坦な）固体トーラス（リサジュートーリック結び目）でも研究できます。

結び目は自己交差できないため、3つの整数は互いに素でなければならず、 ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$

${\displaystyle n_{x}\phi _{y}-n_{y}\phi _{x},\quad n_{y}\phi _{z}-n_{z}\phi _{y},\クワッド n_{z}\phi _{x}-n_{x}\phi _{z}}$

はπの整数倍である可能性があります。さらに、形式の置き換えを行うことで、3つの位相シフト、のいずれもがゼロに等しいと想定できます。 ${\displaystyle t'=t+c}$${\displaystyle \phi_{x}}$${\displaystyle \phi_{y}}$${\displaystyle \phi_{z}}$

ここにリサジュー結び目のいくつかの例を挙げます。^[3]いずれも次のようになります。 ${\displaystyle \phi _{z}=0}$

• 
  三重結び
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,0.2)}$
• 
  港湾労働者の結び目
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,5)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(1.5,0.2)}$
• 
  スクエアノット
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,5,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)}$
• 
  8 ₂₁ノット
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,4,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.1,0.7)}$

リサジュー結び目は無数に存在し、^[4]交差数が 10 以下の他の例としては、 7 ₄結び目、 8 ₁₅結び目、 10 ₁結び目、 10 ₃₅結び目、 10 ₅₈結び目、合成結び目 5 ₂ ^*  # 5 ₂、^[1]のほか、 9 ₁₆結び目、 10 ₇₆結び目、 10 ₉₉結び目、 10 ₁₂₂結び目、 10 ₁₄₄結び目、グラニー結び目、合成結び目 5 ₂  # 5 ₂などがあります。 [5] さらに、 Arf 不変量が0 であるねじれ結び目はすべてリサジュー結び目である ことが知られています。 ^{[6 ]}

リサジュー結び目は対称性が非常に高いですが、対称性の種類は、、、およびがすべて奇数であるかどうかによって異なります。 ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$

、、がすべて奇数の場合、原点を介した点の反射は、結び目の方向を保存するリサジュー結び目の対称性になります。 ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$

一般に、方向保存の点反射対称性を持つ結び目は、強正両生類として知られています。^[7]これはかなり珍しい性質で、交差数が12以下の素数結び目のうち、強正両生類であるのは7つだけです（10 ₉₉、10 ₁₂₃、12a427、12a1019、12a1105、12a1202、12n706）。^[8]これは非常に珍しいため、「ほとんどの」素数リサジュー結び目は偶数の場合になります。

周波数の 1 つ (たとえば ) が偶数の場合、 x軸の周りの 180° 回転はリサジュー結び目の対称性になります。一般に、このタイプの対称性を持つ結び目は2 周期と呼ばれ、すべての偶数リサジュー結び目は 2 周期である必要があります。 ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)}$

リサジュー結び目の対称性は、アレクサンダー多項式に厳しい制約を課します。奇数の場合、リサジュー結び目のアレクサンダー多項式は完全な平方でなければなりません。^[9]偶数の場合、アレクサンダー多項式は2を法とする 完全な平方でなければなりません。^[10] さらに、リサジュー結び目のArf不変量はゼロでなければなりません。したがって、次のようになります。

• 三つ葉結び目と八の字結び目はリサジュー結び目ではありません。
• トーラス結び目はリサジュー結び目にはなりません。
• ファイバー 2 ブリッジ ノットはリサジュー結び目にはなりません。