第三の理想

数学において、三次イデアルは、おそらく非可換環上の両側イデアルであり、右分数イデアルと別のイデアルとの非自明な交差として表現することができない。三次イデアルは、一次イデアルを非可換環の場合に一般化したものである。一般に非可換環上のイデアルに対して一次分解は存在しないが、少なくとも環がネーターである場合は三次分解が存在する。

あらゆる一次イデアルは三次イデアルである。三次イデアルと一次イデアルは可換環では一致する。任意の（二面）イデアルには三次イデアルを関連付けることができ、これを三次根基と呼び、次のように定義される。

${\displaystyle t(I)=\{r\in R{\mbox{ }}|{\mbox{ }}\forall s\notin I,{\mbox{ }}\exists x\in (s){\mbox{ }}x\notin I{\text{ and }}(x)(r)\subset I\}.}$

するとt ( I ) には常にI が含まれます。

Rが（必ずしも可換ではない）ネーター環であり、I がRの右イデアルである場合、I は三次イデアルへの一意の非冗長分解を持つ。

${\displaystyle I=T_{1}\cap \dots \cap T_{n}}$。

• 基本的な理想
• ラスカー・ノイマン定理

• ライリー、JA (1962)、「公理的一次分解および三次分解理論」、アメリカ数学会誌、105 (2): 177–201、doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141683-4
• 第三次イデアル、数学百科事典、Springer Online Reference Works。
• ベーレンス、エルンスト・アウグスト（1972年）、リング理論、Verlag Academic Press、ISBN 9780080873572
• Kurata, Yoshiki (1965)、「非結合環における加法イデアル理論について」、Mathematische Zeitschrift、88 (2): 129–135、doi :10.1007/BF01112095、S2CID  119531162