数学 において、クロネッカーデルタ（ レオポルド・クロネッカー にちなんで命名）は、通常は非負の整数である2つの 変数 の関数 です。この関数は、変数が等しい場合は1、そうでない場合は0となります。 δ 私 j = { 0 もし 私 ≠ j 、 1 もし 私 = j 。 {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}} アイバーソンブラケット を使用する場合： δ 私 j = [ 私 = j ] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,} δ 12 = 0 {\displaystyle \delta _{12}=0} 1 ≠ 2 {\displaystyle 1\neq 2} δ 33 = 1 {\displaystyle \delta _{33}=1} 3 = 3 {\displaystyle 3=3}
クロネッカーデルタは、上記の定義を簡潔に表現する手段として、数学、物理学、工学、コンピュータサイエンスの多くの分野で自然に現れます。クロネッカーデルタの一般化されたバージョンは、微分幾何学や現代のテンソル解析、特にゲージ理論や位相場モデルの定式化において応用されています。[ 1 ]
線形代数 では、n × n {\displaystyle n\times n} 単位行列 私 {\displaystyle \mathbf {I} } 私 私 j = δ 私 j {\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}} 私 {\displaystyle i} j {\displaystyle j} 1 、 2 、 ⋯ 、 n {\displaystyle 1,2,\cdots ,n} ベクトル の内積は 次のように表すことができます。 1 ⋅ b = ∑ 私 、 j = 1 n 1 私 δ 私 j b j = ∑ 私 = 1 n 1 私 b 私 。 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.} ユークリッドベクトルは n 個の組として定義されます。1 = （ 1 1 、 1 2 、 … 、 1 n ） {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} b = （ b 1 、 b 2 、 。 。 。 、 b n ） {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})} j {\displaystyle j}
i とj は {1, 2, ..., n } または{0, 1, ..., n − 1} の形の集合に制限されるのが一般的ですが、クロネッカーのデルタは任意の集合上で定義できます。
不動産 以下の式が満たされます。∑ j δ 私 j 1 j = 1 私 、 ∑ 私 1 私 δ 私 j = 1 j 、 ∑ k δ 私 k δ k j = δ 私 j 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{整列}}} δ
もう一つの便利な表現方法は、次の形式です。δ n m = リム N → ∞ 1 N ∑ k = 1 N e 2 π 私 k N （ n − m ） {\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}} これは等比級数 の公式を用いて導き出すことができる。
別の表記法 アイバーソンブラケット を使用する:δ 私 j = [ 私 = j ] 。 {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}
多くの場合、単一引数表記δ 私 \displaystyle \delta _{i}} j = 0 {\displaystyle j=0} δ 私 = δ 私 0 = { 0 、 もし 私 ≠ 0 1 、 もし 私 = 0 {\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}
線形代数 では、テンソル として考えることができ、次のように記述される。δ j 私 {\displaystyle \delta _{j}^{i}} [ 2 ]
並置によって曖昧さが生じる場合、コンマがよく用いられます。例えば、コンマはの 2 つの整数を区切ります。 δ 19 、 20 {\displaystyle \delta _{19,20}}
一般化 もしそれがタイプとして考えられるなら（ 1 、 1 ） {\displaystyle (1,1)} テンソル 、クロネッカーテンソルは次のように書けるδ j 私 {\displaystyle \delta _{j}^{i}} 共変 指数付きj {\displaystyle j} 反変 指数私 {\displaystyle i} δ j 私 = { 0 （ 私 ≠ j ） 、 1 （ 私 = j ） 。 {\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}
このテンソルは以下を表します。
恒等写像（または恒等行列）は、線形写像とみなされる。 V → V {\displaystyle V\to V} V * → V * {\displaystyle V^{*}\to V^{*}} トレースまたはテンソル縮約は 、マッピングとして考えられます。 V * ⊗ V → K {\displaystyle V^{*}\時々 V\to K} 地図K → V * ⊗ V {\displaystyle K\to V^{*}\otimes V} スカラー乗算を 外積 の和として表す。 の一般化クロネッカーデルタ マルチインデックスクロネッカーデルタ 2 p {\displaystyle 2p} （ p 、 p ） {\displaystyle (p,p)} 反対称 なテンソルp {\displaystyle p} p {\displaystyle p}
2 つの定義は、p ! {\displaystyle p!} ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 1 / p ! {\displaystyle \pm 1/p!} 1 / p ! {\displaystyle 1/p!} 一般化されたクロネッカーデルタの性質は 以下 [ 5 ]
一般化クロネッカーデルタの定義 指標に関して、一般化クロネッカーデルタは次のように定義されます。[ 6 ] [ 7 ] δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = { − 1 もし ν 1 … ν p は異なる整数であり、 の偶数順列である。 μ 1 … μ p − 1 もし ν 1 … ν p は異なる整数であり、 の奇順列である。 μ 1 … μ p − 0 その他のすべての場合 。 {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}
させてS p {\displaystyle \mathrm {S} _{p}} 対称群 とするp {\displaystyle p} δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = ∑ σ ∈ S p サイン （ σ ） δ ν σ （ 1 ） μ 1 ⋯ δ ν σ （ p ） μ p = ∑ σ ∈ S p サイン （ σ ） δ ν 1 μ σ （ 1 ） ⋯ δ ν p μ σ （ p ） 。 {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}
反対称化 の使用： δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = p ! δ [ ν 1 μ 1 … δ ν p ] μ p = p ! δ ν 1 [ μ 1 … δ ν p μ p ] 。 {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}
の観点からp × p {\displaystyle p\times p} 決定要因 ：[ 8 ] δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = | δ ν 1 μ 1 ⋯ δ ν p μ 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ ν 1 μ p ⋯ δ ν p μ p | 。 {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}
行列式のラプラス展開 （ラプラスの公式 ）を用いると、次のように再帰的に 定義できる。[ 9 ] δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = ∑ k = 1 p （ − 1 ） p + k δ ν k μ p δ ν 1 … ν ˇ k … ν p μ 1 … μ k … μ ˇ p = δ ν p μ p δ ν 1 … ν p − 1 μ 1 … μ p − 1 − ∑ k = 1 p − 1 δ ν k μ p δ ν 1 … ν k − 1 ν p ν k + 1 … ν p − 1 μ 1 … μ k − 1 μ k μ k + 1 … μ p − 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}} ˇ {\displaystyle {\check {}}}
いつp = n {\displaystyle p=n} レヴィ＝チヴィタ記号 で表すと次のようになる。 δ ν 1 … ν n μ 1 … μ n = ε μ 1 … μ n ε ν 1 … ν n 。 {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.} m = n − p {\displaystyle m=n-p} Einstein summation convention : δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = 1 m ! ε κ 1 … κ m μ 1 … μ p ε κ 1 … κ m ν 1 … ν p . {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}
Contractions of the generalized Kronecker delta Kronecker Delta contractions depend on the dimension of the space. For example, δ μ 1 ν 1 δ ν 1 ν 2 μ 1 μ 2 = ( d − 1 ) δ ν 2 μ 2 , {\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},} d is the dimension of the space. From this relation the full contracted delta is obtained as δ μ 1 μ 2 ν 1 ν 2 δ ν 1 ν 2 μ 1 μ 2 = 2 d ( d − 1 ) . {\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).} δ μ 1 … μ n ν 1 … ν n δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = n ! ( d − p + n ) ! ( d − p ) ! δ ν n + 1 … ν p μ n + 1 … μ p . {\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}
Properties of the generalized Kronecker delta The generalized Kronecker delta may be used for anti-symmetrization : 1 p ! δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p a ν 1 … ν p = a [ μ 1 … μ p ] , 1 p ! δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p a μ 1 … μ p = a [ ν 1 … ν p ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}
From the above equations and the properties of anti-symmetric tensors , we can derive the properties of the generalized Kronecker delta: 1 p ! δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p a [ ν 1 … ν p ] = a [ μ 1 … μ p ] , 1 p ! δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p a [ μ 1 … μ p ] = a [ ν 1 … ν p ] , 1 p ! δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p δ κ 1 … κ p ν 1 … ν p = δ κ 1 … κ p μ 1 … μ p , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}} § Properties Cauchy–Binet formula .
Reducing the order via summation of the indices may be expressed by the identity[ 10] δ ν 1 … ν s μ s + 1 … μ p μ 1 … μ s μ s + 1 … μ p = ( n − s ) ! ( n − p ) ! δ ν 1 … ν s μ 1 … μ s . {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}
Using both the summation rule for the case p = n {\displaystyle p=n} the summation rule of the Levi-Civita symbol is derived: δ ν 1 … ν p μ 1 … μ p = 1 ( n − p ) ! ε μ 1 … μ p κ p + 1 … κ n ε ν 1 … ν p κ p + 1 … κ n . {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.} spinor approach to general relativity [ 11] [ 12] Penrose graphical notation .[ 13] S-duality theories, especially when written in the language of differential forms and Hodge duals .
Integral representations For any integers j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} contour integral using a standard residue calculation. The integral is taken over the unit circle in the complex plane , oriented counterclockwise. An equivalent representation of the integral arises by parameterizing the contour by an angle around the origin. δ j k = 1 2 π i ∮ | z | = 1 z j − k − 1 d z = 1 2 π ∫ 0 2 π e i ( j − k ) φ d φ {\displaystyle \delta _{jk}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{j-k-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(j-k)\varphi }\,d\varphi }
References ↑ 中原幹夫 (2003).幾何学、位相幾何学、物理学 . CRC Press. ISBN 9780750306065 。 ↑ Trowbridge, JH (1998). "表面波が存在する場合の乱流せん断応力の測定技術について" . Journal of Atmospheric and Oceanic Technology . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T . doi : 10.1175/1520-0426(1998)015 < 0290:OATFMO > 2.0.CO ; 2 . ↑ ディラック、ポール（1930）。 量子力学の原理（第1版） 。オックスフォード大学出版局 。ISBN 9780198520115 。↑ シュピーゲル、ユージン；オドネル、クリストファー J. (1997)、 インシデンス代数 、純粋応用数学、第 206 巻、マルセル デッカー、 ISBN 0-8247-0036-8 ↑ ポープ、クリストファー (2008)。 「幾何学と群論」 (PDF) 。 ↑ フランケル、セオドア (2012). 物理学の幾何学：入門 （第3 版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107602601 。↑ Agarwal, DC (2007). Tensor Calculus and Riemannian Geometry (22nd ed.). Krishna Prakashan Media. ↑ Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6 。↑ 再帰的定義には最初のケースが必要です。これは、 p = 0 の場合はδ = 1p = 1 の場合はδ μ ν = δ μ ν ↑ Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5 。↑ Penrose, Roger (1960 年 6 月). "A spinor approach to general relativity" . Annals of Physics . 10 (2): 171–201 . Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . doi : 10.1016/0003-4916(60)90021-X . ↑ エイトケン、アレクサンダー・クレイグ (1958)。 行列式と行列 。英国：オリバー・アンド・ボイド。 ↑ ロジャー・ペンローズ 、「負の次元テンソルの応用」、組合せ数学とその応用 、アカデミック・プレス（1971年）。
![{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1419db152cf3420e549896141fbf42846adb3141)
![{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81e83a8bfafc93fb53facd4360cd794ea0fc98d)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{ただし}}-\infty <n<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28c4e2e66c8fdf2b58e0d331da4abb7b6561bdc)
![{\displaystyle \delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{ただし}}-\infty <n<\infty 、-\infty <k<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5329246b55c0de893ba827476b2e1d48560a902a)
![{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{は別の整数です}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467b63f6d785f214de98094c013e07e62f18abd)
![{\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710a3273176c3744ca733a604c2bafd0693fa380)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ccc981b481f326109b888e413ea2a63fd290df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c07422f76690597f31d078eee300632fedc8f66)
![{\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56c378c8b3f5b7dc81c97ec44c41b57dabb3d8d)
