スタインスプリングの膨張定理

数学において、スタインスプリングの膨張定理は、スタインスプリングの因数分解定理とも呼ばれ、W・フォレスト・スタインスプリングにちなんで名付けられ、 C*-代数A上の任意の完全正写像を、それぞれが特別な形式を持つ 2 つの完全正写像の合成として 表す作用素理論の結果です。

1. 補助ヒルベルト空間K上のAの*-表現とそれに続く
2. T ↦ V*TV形式の演算子マップ。

さらに、スタインスプリングの定理は、C*-代数からヒルベルト空間上の有界作用素の代数への構造定理です。完全正写像は、*-表現の単純な修正、または*-準同型と呼ばれることが示されています。

単位C* 代数の場合、結果は次のようになります。

定理。Aを単位 C*-代数、H をヒルベルト空間、B ( H ) をH上の有界作用素とする。任意の完全に正の

${\displaystyle \Phi :A\to B(H),}$

ヒルベルト空間Kと単位*準同型 が存在する

${\displaystyle \pi :A\to B(K)}$

そのような

${\displaystyle \Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,}$

ここで は有界演算子である。さらに、 ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle \|\ファイ (1)\|=\|V\|^{2}.}$

非公式には、すべての完全な正の写像は、 の形式の写像まで「持ち上げる」ことができると言えます。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle V^{*}(\cdot )V}$

定理の逆は自明に真です。したがって、Stinespring の結果は完全に正の写像を分類します。

ここで簡単に証明を説明しよう。 とする。 について、定義する。 ${\displaystyle K=A\otimes H}$${\displaystyle a\otimes h,\ b\otimes g\in K}$

${\displaystyle \langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}}$

を半線形性によってKの全体に拡張します。これはエルミート 半線形形式です。なぜなら* 演算と互換性があるからです。の完全な正値性は、この半線形形式が実際には半正定値であることを示します。半正定値エルミート半線形形式はコーシー・シュワルツ不等式を満たすので、部分集合 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K}$

は部分空間です。商空間 を考慮することで退化を除去できます。この商空間の完備化はヒルベルト空間であり、 とも表記されます。次に、と を定義します。と が目的の特性を備えていること を確認できます。 ${\displaystyle K/K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle Vh=1_{A}\otimes h}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle V}$

はHのKへの自然な代数的埋め込みであることに注目してください。 が成り立つことが証明できます。特に が成り立つため、は のときのみ等長変換となります。この場合、H はヒルベルト空間の意味でKに埋め込むことができ、はKに作用してHへの射影になります。記号的に次のように書くことができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h}$${\displaystyle V^{\ast }V=\ファイ (1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Phi (1)=1}$${\displaystyle V^{\ast}}$

${\displaystyle \Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.}$

膨張理論の言葉で言えば、これは が の圧縮であるということです。したがって、すべての単位完全正写像は何らかの*-準同型の圧縮であるというのは、スタインスプリングの定理の系です。 ${\displaystyle \Phi (a)}$${\displaystyle \pi (a)}$

三つ組 ( π、V、K ) は Φ のStinespring 表現と呼ばれます。ここで当然の疑問は、与えられた Stinespring 表現を何らかの意味で簡約できるかどうかです。

K _{1 を}π ( A ) VHの閉じた線形スパンとします。一般的な *-表現の性質により、K _{1 はすべての}aに対してπ ( a )の不変部分空間です。また、K _1にはVH が含まれます。定義

${\displaystyle \pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.}$

直接計算できる

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b ){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\大きい|}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{整列}}}$$

そしてkとℓがK ₁に属する場合

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}}$$

したがって、( π ₁ , V , K _{1 )もΦのStinespring表現であり、} K _1がπ ( A ) VHの閉じた線形スパンであるという追加の特性を持ちます。このような表現は極小Stinespring表現と呼ばれます。

( π ₁ , V ₁ , K ₁ )と( π ₂ , V ₂ , K _{2 )を与えられたΦの2つのスタインスプリング表現とする。}部分等長変換 W  : K ₁ → K _2を次のように 定義する。

${\displaystyle \;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.}$

V ₁ H ⊂ K ₁では、これは絡み合い関係を与える。

${\displaystyle \;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}$

特に、両方の Stinespring 表現が最小の場合、W はユニタリです。したがって、最小 Stinespring 表現はユニタリ変換 を除いて一意です。

ここでは、Stinespring の定理の帰結として考えられる結果をいくつか挙げます。歴史的には、以下の結果のいくつかは Stinespring の定理に先行するものでした。

ゲルファント・ナイマーク・シーガル（GNS）構成は以下の通りである。スティーンスプリングの定理のHを1次元、すなわち複素数とする。したがって、ΦはA上の正線型関数となる。Φが状態、すなわちΦがノルム1を持つと仮定すると、等長変換は次のように決定される。 ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle V1=\xi }$

単位ノルムのいくつかの場合には、 ${\displaystyle \xi \in K}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}}$$

そして、状態のGNS表現を回復しました。これは、単なる正の写像ではなく、完全な正の写像が正関数の真の一般化であることを確認する1つの方法です。

C*-代数上の線型正関数は、参照正関数がゼロである任意の正元上でゼロである場合に、別のそのような関数（参照関数と呼ばれる）に関して絶対連続である。これは、ラドン-ニコディム定理の非可換な一般化につながる。標準トレースに関する行列代数上の状態の通常の密度演算子は、参照関数がトレースとして選択された場合のラドン-ニコディム微分に他ならない。Belavkinは、ある完全正マップが別の（参照）マップに関して完全に絶対連続であるという概念を導入し、完全正マップに対する非可換ラドン-ニコディム定理の演算子バリアントを証明した。行列代数上のトレース完全正参照マップに対応するこの定理の特別なケースは、標準トレースに関する CP マップのラドン-ニコディム微分としての Choi 演算子につながる（Choi の定理を参照）。

が完全な正で、GとH がそれぞれn次元とm次元の有限次元ヒルベルト空間である場合、Φ は次の形になること が Choi によって示されました。${\displaystyle \Phi :B(G)\to B(H)}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

これは、完全正値写像 上の Choi の定理と呼ばれる。 Choi はこれを線型代数の手法で証明したが、彼の結果は Stinespring の定理の特殊なケースとみなすこともできる。 ( π , V , K ) を Φ の最小 Stinespring 表現とする。最小性により、K の次元は の次元よりも小さくなる。したがって、一般性を失うことなく、K は次の式と同一視できる 。${\displaystyle C^{n\times n}\otimes C^{m}}$

${\displaystyle K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.}$

それぞれはn次元ヒルベルト空間のコピーです。 から、上記のKの同一視は のように整理できることがわかります。ここで、P _{i は}Kからへの射影です。 とします。 ${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle \;P_{i}\pi (a)P_{i}=a}$${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle V_{i}=P_{i}V}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}}$

そしてチェイの結果は証明された。

Choi の結果は、行列代数上のトレース完全正参照写像に対応する完全正 (CP) 写像に対する非可換ラドン-ニコディム定理の特殊なケースです。強演算子形式では、この一般的な定理は 1985 年に Belavkin によって証明され、参照 CP 写像に関して完全に絶対連続な CP 写像を表す正密度演算子の存在を示しました。参照 Steinspring 表現におけるこの密度演算子の一意性は、この表現の極小性から単純に導かれます。したがって、Choi の演算子は、標準トレースに関する有限次元 CP 写像のラドン-ニコディム微分です。

チョイの定理、およびスタインスプリングの定式化によるベラフキンの定理を証明する際には、さまざまな空間の識別を明示的に行わない限り、議論はクラウス演算子V _{i を}明示的に与えないことに注意する。一方、チョイの元の証明では、それらの演算子を直接計算する必要がある。

ナイマークの定理によれば、あるコンパクトなハウスドルフ空間X上のすべてのB ( H ) 値弱可算加法測度は、測度がスペクトル測度になるように「持ち上げ」ることができる。これは、 C ( X ) が可換 C* 代数である という事実と、スティーンスプリングの定理を組み合わせることで証明できる。

この結果は、ヒルベルト空間上のすべての収縮には、最小性特性を持つ ユニタリ拡大があることを示しています。

量子情報理論では、量子チャネル、または量子演算は、C*-代数間の完全な正の写像として定義されます。そのようなすべての写像の分類であるため、スタインスプリングの定理はその文脈で重要です。たとえば、定理の一意性の部分は、特定のクラスの量子チャネルを分類するために使用されています。

異なるチャネルの比較と相互の忠実度と情報の計算には、Belavkin によって導入された「ラドン-ニコディム」導関数によるチャネルの別の表現が有用である。有限次元の場合、完全正値写像に対する Belavkin のラドン-ニコディム定理のトレース変形である Choi の定理も関連している。式 ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

はΦの クラウス演算子と呼ばれる。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}$

Φ の演算子和表現と呼ばれることもあります。

• M.-D. Choi、「複素行列上の完全正値線型写像」、線形代数とその応用、10、285–290 (1975)。
• VP Belavkin、P. Staszewski、「完全正値写像に対するラドン-ニコディム定理」、数理物理学レポート、v. 24、No 1、49-55 (1986)。
• V. Paulsen, Completely Bounded Maps and Operator Algebras、ケンブリッジ大学出版局、2003年。
• WF Stinespring、「C*-代数上の正関数」、アメリカ数学会紀要、6、211–216 (1955)。