連結合計

数学、特に位相幾何学において、連結和の演算は多様体に対する幾何学的変形である。その効果は、与えられた 2 つの多様体を、それぞれの選択された点の近くで結合することである。この構成は、閉曲面の分類において重要な役割を果たしている。

より一般的には、同一の部分多様体に沿って多様体を結合することもできます。この一般化は、ファイバー和と呼ばれることがよくあります。結び目上の連結和という密接に関連した概念もあり、結び目の和または結び目の 合成と呼ばれます。

2つのm次元多様体の連結和は、各多様体内の球を1つ削除し、結果として得られる境界球を互いに接着することによって形成される多様体です。

両方の多様体がの向きになっている場合、接着写像を逆向きにすることで定義される一意の連結和が存在します。構築では球の選択を使用しますが、結果は同相を除いて一意です。この操作を 滑らかなカテゴリで機能させることもできます。その場合、結果は微分同相 を除いて一意です。滑らかなケースには微妙な問題があります。向きが正しく選択されていても、球の境界間の微分同相がすべて同じ合成多様体を与えるわけではありません。たとえば、ミルナーは、2 つの 7 セルを境界に沿って接着すると、 7 次元球とは同相ではあるが微分同相ではないエキゾチックな球が得られることを示しました。

しかし、とを接着する標準的な方法があり、一意に定義された連結和を与える。^[1]とを埋め込み、向きを保存し向きを反転する。ここで、分離和から ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$${\displaystyle i_{1}}$${\displaystyle i_{2}}$${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

各単位ベクトルおよび各 についてを と同一視することによって、 を とと と両立する の向きを選択します。この構成が明確に定義されているという事実は、まったく自明ではない円板定理に大きく依存しています。詳細については、^{[2]を参照してください。}${\displaystyle i_{1}(tu)}$${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$ ${\displaystyle u\in S^{n-1}}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$

連結和の演算は で表されます。 ${\displaystyle \#}$

連結和の演算は球面を恒等式として持ちます。つまり、 はに同相(または微分同相)です。 ${\displaystyle S^{m}}$${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$${\displaystyle M}$

閉曲面の分類は、位相幾何学における基礎的かつ歴史的に重要な成果であり、任意の閉曲面は、いくつかのトーラスといくつかの実射影平面を持つ球面の連結和として表現できると述べています。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$

とを、同じ次元の2つの滑らかな有向多様体と、との両方に部分多様体として埋め込まれた滑らかな閉じた有向多様体とする。さらに、正規バンドルの同型が存在すると仮定する。${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}.}$

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

各繊維の向きを反転させる。そして向きを保存する微分同相写像を誘導する。 ${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

ここで、各正規束はの近傍と微分同相的に同一視され、写像 ${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ ${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

は方向反転微分同相反転である

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

法線ベクトル上のとの連結和は、空間 ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

削除された近傍を方向保存微分同相写像で貼り合わせることで得られる。その和はしばしば

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

その微分同相写像の型は、 の 2 つの埋め込みの選択と の選択に依存します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi}$

大まかに言えば、部分多様体の各正規ファイバーには の点が 1 つ含まれており、 に沿った連結和は、前のセクションで説明した連結和を各ファイバーに沿って実行したものに過ぎません。このため、 に沿った連結和はファイバー和と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

点の特殊なケースでは、前のセクションの接続された合計が回復されます。 ${\displaystyle V}$

もう 1 つの重要な特殊なケースは、 の次元が の次元より 2 小さい場合です。この場合、正規バンドルの同型性は、それらのオイラー類が反対である場合に常に存在します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

さらに、この場合、正規バンドルの構造群は円群 です。したがって、埋め込みの選択は、から円への写像のホモトピー類の群と標準的に同一視でき、これは第 1 整コホモロジー群 に等しくなります。したがって、和の微分同相写像型は、 の選択と からの元の選択に依存します。 ${\displaystyle SO(2)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H^{1}(V)}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle H^{1}(V)}$

シンプレクティック多様体のカテゴリでは、余次元 2 に沿った連結和も実行できます。この処理はシンプレクティック和と呼ばれます。 ${\displaystyle V}$

連結和は多様体上の局所演算であり、つまり の近傍でのみ加数を変更することを意味します。これは、たとえば、 の互いに素な2 つのコピーを含む単一の多様体上で和を実行し、それ自体に接着する効果を伴えることを意味します。たとえば、2 次元球面の 2 つの異なる点における連結和は、2 次元トーラスを生成します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$

2 つの結び目の連結和という、密接に関連した概念があります。実際、結び目を単なる 1 次元多様体と見なすと、2 つの結び目の連結和は、1 次元多様体としてのそれらの連結和に過ぎません。しかし、結び目の本質的な特性は、その多様体構造 (その構造の下ではすべての結び目は円に等しい) ではなく、むしろ周囲の空間への埋め込みです。そのため、結び目の連結和には、次のように、明確に定義された埋め込みを生成するより精巧な定義があります。

この手順により、新しい結び目、つまり元の結び目の連結和（または結び目の和、または合成）が投影されます。結び目の連結和を明確に定義するには、3 次元空間内の有向結び目を考慮する必要があります。2 つの有向結び目の連結和を定義するには、次のようにします。

1. 各結び目の平面投影を考え、これらの投影が互いに素であると仮定します。
2. 平面上で、1 組の辺が各結び目に沿った円弧であるが、それ以外は結び目から分離しており、長方形の辺上の結び目の円弧が長方形の境界の周囲に同じ方向を向いている長方形を見つけます。
3. 次に、結び目からこれらの円弧を削除し、長方形の他の 2 つの辺を形成する円弧を追加して、2 つの結び目を結合します。

結果として得られる接続された和結び目は、元の 2 つの結び目の方向と一致する方向を継承し、結果の方向付けられた周囲同位体クラスは、元の 2 つの結び目の方向付けられた周囲同位体クラスのみに依存して明確に定義されます。

この操作により、3次元空間の向き付けられた結び目は、一意の素因数分解を持つ可換モノイドを形成し、これにより、素数結び目が何を意味するかを定義できます。 可換性の証明は、一方の加数を非常に小さくしてから、もう一方の結び目に沿って引っ張ることで確認できます。非結び目は単位です。2つの三つ葉結び目は、最も単純な素数結び目です。より高次元の結び目は、-球面を接合することで追加できます。 ${\displaystyle n}$

3 次元では、非結び目は 2 つの非自明な結び目の和として記述できません。この事実は結び目の種数の加法性から導かれます。別の証明は、マズール詐欺と呼ばれることもある無限構成に依存しています。高次元 (余次元が少なくとも 3) では、2 つの非自明な結び目を加算することで非結び目を得ることができます。

結び目の向きを考慮しない場合、連結和演算は（向きのない）結び目の同位体類上では明確に定義されません。これを確認するには、（向きのない結び目として）同等ではない 2 つの非可逆結び目K、L を考えます。たとえば、2 つのプレッツェル結び目 K = P (3, 5, 7) とL = P (3, 5, 9) を取ります。K ₊とK _{− を}2つの同等でない向きを持つKとし、L ₊とL _{−を 2 つの同等でない向きを持つ}Lとします。形成できる向きのある連結和は 4 つあります。

• A = K ₊ # L ₊
• B = K ₋ # L ₋
• C = K ₊ # L ₋
• D = K ₋ # L ₊

これら 4 つの有向結び目の有向アンビエント アイソトピー クラスはすべて異なっており、向きに関係なく結び目のアンビエント アイソトピーを考慮すると、2 つの異なる同値クラス { A ~ B } と { C ~ D } が存在します。AとBが無向同値であることを確認するには、これら 2 つが上記と同じ一対の分離した結び目投影から構築できることに注目してください。唯一の違いは結び目の向きです。同様に、 CとD は、同じ一対の分離した結び目投影から構築できること がわかります。

• バンド合計
• 素分解（3次元多様体）
• 多様体分解
• 衛星結び目

• ロバート・ゴンプ：シンプレクティック多様体の新しい構成、数学年報142（1995）、527-595
• William S. Massey、『代数的位相幾何学の基礎講座』、Springer-Verlag、1991年。ISBN 0-387-97430  -X。