推定値を設定する

統計学では、ランダムベクトル x は、古典的には確率密度関数によって表される。集合メンバーシップアプローチまたは集合推定では、x は、 xが属すると想定される集合Xによって表される。つまり、xの確率分布関数のサポートはX内に含まれる。一方で、ランダムベクトルを集合で表すと、ランダム変数に関する仮定（独立性など）が少なくなり、非線形性の取り扱いが容易になる。一方、確率分布関数は、サポートを囲む集合よりも正確な情報を提供する。

セットメンバーシップ推定（または略してセット推定）は、測定が測定空間の集合Y（ほとんどの場合、mが測定数である ⁠ ⁠ のボックス）によって表されるとみなす推定アプローチです。pがパラメータベクトルでfがモデル関数である場合、すべての実行可能なパラメータベクトルの集合は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$

$${\displaystyle P=P_{0}\cap f^{-1}(Y),}$$

ここでP0_はパラメータの事前集合である。Pを特徴付けることは集合反転問題に対応する。^[1]

fが線形の場合、実行可能集合Pは線形不等式で記述でき、線形計画法を使用して近似することができます。^[2]

fが非線形の場合、区間解析を使用して解決できます。実行可能集合 Pは、内側と外側のサブ舗装によって近似されます。この方法の主な制限は、パラメータの数に対する指数関数的な複雑さです。^[3]

次のモデルを考えてみましょう

$${\displaystyle \phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),}$$

ここで、p ₁とp ₂は推定される 2 つのパラメーターです。

時刻t ₁ = −1、t ₂ = 1、t ₃ = 2において、図1に示すように、次の間隔の測定が収集された と仮定する。 対応する測定セット（ここではボックス）は $${\displaystyle {\begin{array}{rclr}[y_{1}]&=&[-4,&-2],\\{}[y_{2}]&=&[\quad \!4,&9],\\{}[y_{3}]&=&[\quad \!7,&11],\end{array}}}$$

$${\displaystyle Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}].}$$

モデル関数は次のように定義される。

$${\displaystyle f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}}$$

fの成分は、各時間測定のモデルを使用して取得されます。集合反転問題を解くと、図 2 に示す近似値が得られます。赤いボックスは実行可能集合P の内側にあり、青いボックスはP の外側にあります。

集合推定は、再帰的実装を使用して状態方程式で記述されたシステムの状態を推定するために使用できます。システムが線形の場合、状態ベクトルの対応する実行可能集合は、多面体または楕円体で記述できます ^[4] 。^[5] システムが非線形の場合、集合は部分舗装で囲むことができます。 ^[6]

外れ値が発生すると、セット推定法では一般に空のセットが返されます。これは、i番目のデータ バーと一致するパラメーター ベクトルのセット間の交差が空であるという事実によるものです。外れ値に対して堅牢性を保つために、一般に、 q個を除くすべてのデータ バーと一致するパラメーター ベクトルのセットを特徴付けます。これは、q緩和交差の概念を使用して可能です。

• セット識別