誘導準同型性

数学、特に代数的位相幾何学において、誘導準同型写像とは、別の写像から標準的な方法で導かれる準同型写像である。 ^[1] たとえば、位相空間Xから位相空間Yへの連続写像は、 Xの基本群からYの基本群への群準同型写像を誘導する。

より一般的には、圏論では、定義により、任意の関手は、ソース圏の各射に対して、ターゲット圏の誘導射を提供します。たとえば、基本群、高次ホモトピー群、特異ホモロジー、およびド・ラーム・コホモロジーは、関手的である代数構造です。つまり、それらの定義は、(たとえば)位相空間の圏から(たとえば)群または環の圏への関手を提供します。これは、各空間が代数構造に関連付けられ、空間間の各連続写像が、誘導準同型と呼ばれる構造間の構造保存写像に関連付けられていることを意味します。写像から誘導された準同型は、しばしば と表記されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle h_{*}}$

誘導準同型写像は、多くの場合、元の写像の特性を引き継ぎます。たとえば、ホモトピーまで互いに逆である 2 つの写像は、互いに逆である準同型写像を誘導します。誘導準同型の一般的な使用法は次のとおりです。特定の特性を持つ準同型写像が存在できないことを示すことによって、それを誘導する特性を持つ連続写像は存在できないと結論付けます。これにより、空間と連続写像の関係 (非常に複雑な場合が多い) は、それらが誘導する準同型写像間の関係から推論できます。後者は、多くの場合簡単に記述、比較、計算できる代数構造を含むため、分析が簡単な場合があります。

XとY を、Xに点x ₀、Yに点 y _{0 がある}位相空間とします。h  : X→Y をh ( x ₀ ) = y ₀となる連続写像とします。すると、基本群π ₁ ( X、x ₀ )から基本群π ₁ ( Y、y ₀ )への写像を次のように定義できます。x ₀を基点とするXのループfで表されるπ ₁ ( X、x ₀ )の任意の元は、 hと合成して得られるπ ₁ ( Y、y ₀ )のループに写像されます。 ${\displaystyle h_{*}}$

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

ここで [ f ] は、基本群の定義にあるように、ホモトピーの下でのfの同値類を表します。定義から、 π ₁ ( X、x ₀ ) → π ₁ ( Y、y ₀ )という明確に定義された関数であることが簡単にわかります。同じ同値類のループ、つまりXのホモトピック ループは、 Yのホモトピック ループにマッピングされます。これは、ホモトピーがhでも構成できるためです。また、基本群における群演算の定義 (つまり、ループの連結による)からも、群準同型であることが 分かります。${\displaystyle h_{*}}$${\displaystyle h_{*}}$

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

（ここで、+ はループの連結を表し、最初の+ はXにあり、2番目の+ はYにあります）。^[2] 結果として得られる準同型は、hから誘導される準同型です。 ${\displaystyle h_{*}}$

π ( h )と表記されることもある。実際、π は尖端空間のカテゴリから群のカテゴリへの関手を与える。つまり、基本群π ₁ ( X , x ₀ )を各尖端空間( X , x ₀ )に関連付け、誘導準同型を各基底点保存連続写像h :  ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ )に関連付ける。これが関手の定義を満たすことを証明するには、さらに合成と互換性があることを確認する必要がある。基底点保存連続写像h :  ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ )およびk :  ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ )については、次のようになる。 ${\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).}$

これは、h が連続写像であるだけでなく、実際にXとY の間の同相写像である場合、誘導された準同型は基本群間の同型であることを意味します（上記の式により、 hの逆写像によって誘導された準同型は の逆写像であるため）。 （H. SchubertのセクションIII.5.4、p. 201を参照。）^[3]${\displaystyle \pi (h)}$${\displaystyle \pi (h)}$

1.トーラスはR ²と同相ではありません。なぜなら、それらの基本群は同型ではないからです (それらの基本群の濃度が同じではないため)。より一般的には、単連結空間は非単連結空間と同相になることはできません。一方には自明な基本群がありますが、もう一方には基本群がありません。

2.円の基本群は整数群と同型です。したがって、 Rの1 点コンパクト化は整数群と同型な基本群を持ちます ( Rの 1 点コンパクト化は円に同相であるため)。これは、単連結空間の 1 点コンパクト化が単連結である必要がないことも示しています。

3.定理の逆は必ずしも成り立つとは限りません。たとえば、R ²とR ^{3 は}同型の基本群を持ちますが、それでも同相ではありません。それぞれの空間が単連結であるため、基本群は同型です。しかし、R ²から点を削除すると非単連結空間が残りますが、R ^{3から点を削除すると単連結空間が残るため、2 つの空間は同相ではありません (} R ³にある直線を削除すると、空間は単連結ではなくなります。実際、これはR ⁿに一般化され、 R ⁿから( n − 2)次元の 部分空間を削除すると非単連結空間が残ります)。

4. Aが位相空間Xの強い変形写像である場合、AからXへの包含写像は基本群間の同型性を誘導します（したがって、Xの基本群は部分空間Aのループのみを使用して記述できます）。

同様に、高次ホモトピー群とホモロジー群の誘導準同型が存在します。任意のホモロジー理論には誘導準同型が伴います。たとえば、単体ホモロジー、特異点ホモロジー、ボレル・ムーア・ホモロジーはすべて誘導準同型を持ちます (IV.1.3、pp. 240–241) ^[3] 同様に、任意のコホモロジーには誘導準同型が伴いますが、方向は逆です ( Yに関連付けられた群からXに関連付けられた群へ)。たとえば、チェフコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、特異点コホモロジーはすべて誘導準同型を持ちます (IV.4.2–3、pp. 298–299) ^[3]コボルディズム などの一般化にも誘導準同型があります。

すべての位相空間Topのカテゴリや尖った位相空間のカテゴリ (つまり、区別された基点を持つ位相空間)などの位相空間の何らかのカテゴリ (場合によっては追加の構造を持つ) と、そのカテゴリから、そのような代数構造をすべての位相空間に関連付ける、群のカテゴリGrpやアーベル群Abなどの代数構造の何らかのカテゴリへの関数が与えられた場合、 のすべての射 (通常は連続写像であり、基点などの他の構造を保存する可能性があります) に対して、この関数はおよびにそれぞれ関連付けられた代数構造との間にの誘導射(たとえば、 が群のカテゴリである場合、群準同型)を誘導します。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

が (共変) 関手ではなく反変関手である場合、定義により逆方向の射が誘導されます: 。コホモロジー群が例を示します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$

• ジェームズ・マンクレス (1999)。トポロジー、第 2 版、プレンティス ホール。ISBN 0-13-181629-2。