セットのファミリー

集合論や数学の関連分野において、族（またはコレクション）は、文脈に応じて、集合、インデックス付き集合、多重集合、またはクラスのいずれかを意味します。与えられた集合のサブセットのコレクションは、のサブセットの族、または上の集合の族と呼ばれます。より一般的には、どのような集合のコレクションでも、集合の族、集合族、または集合システムと呼ばれます。さらに、集合の族は、インデックス集合と呼ばれる集合 から への関数として定義される場合があり、その場合、族の集合は のメンバーによってインデックス付けされます。^[1]コンテキストによっては、集合の族に任意のメンバーの繰り返しコピーを含めることができる場合があり、^{[2] [3] [4]}、他のコンテキストでは、適切なクラスを形成する場合があります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle F}$${\displaystyle I}$

有限集合 の部分集合の有限族はハイパーグラフとも呼ばれます。極値集合論の主題は、特定の制約を満たす集合族の最大の例と最小の例に関するものです。 ${\displaystyle S}$

与えられた集合のすべての部分集合の集合はの冪集合と呼ばれ、次のように表される。与えられた集合の冪集合は、${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \wp (S).}$ ${\displaystyle \wp (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

要素を持つのサブセットはの- サブセットと呼ばれます。集合の -サブセットは集合の族を形成します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$${\displaystyle S}$

上の集合族の例（多重集合の意味で）は次のように表される。ここで、${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},}$${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},}$${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}.}$

すべての順序数のクラスは、集合の大きな族です。つまり、それ自体は集合ではなく、適切なクラスです。 ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

集合の部分集合の族は、重複するメンバーがない場合は、 それ自体がべき集合の部分集合です。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

重複のない集合の族は、すべての集合の適切なクラス（宇宙）のサブクラスです。

フィリップ・ホールによるホールの結婚定理は、有限の空でない集合の族（重複は許可されている）が、異なる代表者のシステムを持つための必要かつ十分な条件を与えます。

が任意の集合族である場合、は 内のすべての集合の和集合を表します。特に、任意の 集合族は の族であり、また の任意のスーパーセットの族でもあります。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing .}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}.}$

他の数学の分野における特定の種類のオブジェクトは、何らかの種類のオブジェクトの集合のコレクションとして純粋に記述できるという点で、集合の族と同等です。

• ハイパーグラフは集合システムとも呼ばれ、頂点の集合と別のハイパーエッジの集合によって形成されます。ハイパーエッジの集合はそれぞれ任意の集合です。ハイパーグラフのハイパーエッジは集合の族を形成し、任意の集合の族は集合の和集合を頂点とするハイパーグラフとして解釈できます。
• 抽象単体複体は、面と面を合わせた線分、三角形、四面体、高次元単体の和集合によって形成される形状である単体複体の概念の組み合わせ的抽象化です。抽象単体複体では、各単体は単純にその頂点の集合として表されます。重複のない有限集合の族で、族内の任意の集合の部分集合も族に属するものは、抽象単体複体を形成します。
• 入射構造は、点の集合、直線の集合、および、どの点がどの直線に属するかを指定する、入射関係と呼ばれる（任意の）二項関係で構成されます。入射構造は、集合の族（2 つの異なる直線に同じ点の集合が含まれる場合でも）、各直線に属する点の集合によって指定でき、任意の集合の族は、このようにして入射構造として解釈できます。
• バイナリブロック コードは、コードワードのセットで構成されます。各コードワードは、すべて同じ長さの 0 と 1 の文字列です。コードワードの各ペアのハミング距離が大きい場合、エラー訂正コードとして使用できます。ブロック コードは、各コードワードを 1 を含む位置のセットとして記述することにより、セットのファミリとして記述することもできます。
• 位相空間は、 が集合（その要素は点と呼ばれる）であり、 が 上の位相であり、 が空集合とそれ自身の両方を含み、任意の集合の和および有限集合の積に関して閉じている集合の族（その要素は開集合と呼ばれる）であるペアで構成されます。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$

集合族が集合を被覆するとは、 のすべての点が族の何らかの要素に属する場合である。 の被覆のサブ族で の被覆でもあるものは、サブ被覆と呼ばれる。のすべての点が族の有限個の要素のみに含まれる場合、族は点有限集合と呼ばれる。 被覆のすべての点が のちょうど 1 つの要素に含まれる場合、被覆はの分割である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が位相空間のとき、そのメンバーがすべて開集合である被覆は開被覆と呼ばれます。空間内の各点が、その族の有限個のメンバーとのみ交差する近傍を持つ場合、族は局所有限と呼ばれます。σ局所有限または可算局所有限集合は、可算個の局所有限族の和集合である族です。 ${\displaystyle X}$

のすべてのメンバーがのいずれかのメンバーに含まれている場合、そのカバーは別の（より粗い）カバーを洗練していると言われます。スター洗練は、特別なタイプの洗練です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

スペルナー族は、どの集合も他の集合を含まない集合族です。スペルナーの定理は、スペルナー族の最大サイズを制限します。

ヘリー族は、交差が空である任意の最小サブ族がサイズが制限される集合族です。ヘリーの定理は、制限された次元のユークリッド空間内の凸集合がヘリー族を形成することを述べています。

抽象単体複体は、下向きに閉じている集合族（有限集合から成る）です。つまり、集合のすべての部分集合は にも存在します。 マトロイドは、増大特性と呼ばれる追加の特性を持つ抽象単体複体です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$

すべてのフィルターはセットのファミリです。

凸空間は、任意の連鎖の交差と和集合に関して閉じた集合族です（包含関係に関して）。

集合族の他の例としては、独立系、グリードイド、反マトロイド、ボルノロジー空間などがあります。

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• クラス（集合論）  – 数学において、そのメンバーの特性に基づいて定義できる集合の集合
• 組み合わせ設計 – 有限集合の対称配置
• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 一般化された量指定子 – 形式意味論において集合の集合を表す表現
• インデックス付きファミリ – それぞれがインデックス セットの要素に関連付けられたオブジェクトのコレクション
• λシステム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に対して閉じた族
• π-システム – 交差に関して閉じた集合の族
• 集合の環 – 結合と相対的補集合の下で閉じた集合族
• ラッセルのパラドックス – 集合論におけるパラドックス（または、それ自身を含まない集合の集合）
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• σ環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

• ビッグス、ノーマン L. (1985)、離散数学、オックスフォード: クラレンドン プレス、ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010)、Introductory Combinatorics (第 5 版)、アッパー サドル リバー、ニュージャージー: Prentice Hall、ISBN 0-13-602040-2
• フレッド・S・ロバーツ; Tesman、Barry (2009)、Applied Combinatorics (第 2 版)、ボカラトン: CRC Press、ISBN 978-1-4200-9982-9

• ウィキメディア・コモンズの集合族に関連するメディア