ホジキン・ハクスリーモデル

ホジキンとハクスリーは、一連の電圧クランプ実験と細胞外ナトリウムおよびカリウム濃度の変化を用いて、興奮性細胞の特性が4つの常微分方程式で記述されるモデルを開発した。^{[ 1 ]}上記の全電流の方程式と合わせて、これらは次のようになる。

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

ここで、Iは単位面積あたりの電流であり、$\displaystyle \alpha _{i}}$そして$\displaystyle \beta _{i}}$これらはi番目のイオンチャネルの速度定数であり、電圧には依存するが時間には依存しない。${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$はコンダクタンスの最大値です。n 、m、hは、それぞれカリウムチャネルサブユニットの活性化、ナトリウムチャネルサブユニットの活性化、ナトリウムチャネルサブユニットの不活性化に関連する、0から1までの無次元確率です。例えば、イカ巨大軸索のカリウムチャネルは4つのサブユニットで構成されており、カリウムイオンの通過を可能にするには、すべてのサブユニットが開状態である必要があるため、nは4乗する必要があります。${\displaystyle p=(n,m,h)}$、$\displaystyle \alpha _{p}}$そして$\displaystyle \beta _{p}}$形式をとる

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

${\displaystyle p_{\infty }}$そして${\displaystyle (1-p_{\infty })}$はそれぞれ活性化と不活性化の定常状態値であり、通常はボルツマン方程式によっての関数として表される。${\displaystyle V_{m}}$ホジキンとハクスリーによる元の論文^{[ 1 ]}では、関数は${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10-V)}{\exp {\big (}{\frac {10-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25-V)}{\exp {\big (}{\frac {25-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}-{\frac {V}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}-{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}-{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30-V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

どこ${\displaystyle V=V_{休憩}-V_{m}}$これは、mV単位での負の脱分極を表します。

多くの現在のソフトウェアプログラムでは^{[ 2 ]} ホジキン・ハクスリー型モデルが一般化されている${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$に

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p}}}{\big )}-D_{p}}}}$

電圧依存性チャネルを特徴づけるために、これらの式を電圧クランプデータに適合させることができる。電圧クランプ下でのホジキン・ハクスリー方程式の導出については、^{[ 3 ]}を参照のこと。簡単に言うと、膜電位が一定値に保持されている場合（すなわち、電圧クランプの場合）、膜電位の各値に対して、非線形ゲーティング方程式は次の形式の方程式に簡略化される。

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

したがって、膜電位のあらゆる値に対して${\displaystyle V_{m}}$ナトリウム電流とカリウム電流は次のように説明できます。

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} }).}$

伝播する活動電位の完全な解を得るには、最初の微分方程式の左辺の電流項I をVで表し、方程式を電圧のみの方程式にする必要があります。IとVの関係はケーブル理論から導き出すことができ、次のように表されます。

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},}$

ここで、aは軸索の半径、Rは軸索形質の比抵抗、x は神経線維に沿った位置です。この式をIに代入すると、電圧がxとtの両方の関数となるため、元の方程式のセットは偏微分方程式のセットに変換されます。

これらの式を電圧クランプデータに適合させるために、レーベンバーグ・マルカート法がよく用いられる。^{[ 4 ]}

当初の実験ではナトリウムチャネルとカリウムチャネルのみが対象でしたが、ホジキン・ハクスリーモデルは他の種類のイオンチャネルにも拡張することができます。

リークチャネルは、膜のイオンに対する自然な透過性を表し、電圧依存性チャネルの式の形をとります。ここで、コンダクタンスは${\displaystyle g_{leak}}$は定数である。したがって、ホジキン・ハクスリー形式における受動漏洩イオンチャネルによる漏洩電流は${\displaystyle I_{l}=g_{leak}(V-V_{leak})}$。

膜電位は、膜を横切るイオン濃度勾配の維持に依存します。これらの濃度勾配の維持には、イオン種の能動輸送が必要です。ナトリウム-カリウム交換体とナトリウム-カルシウム交換体は、これらのうち最もよく知られています。Na/Ca交換体の基本的な特性のいくつかは既に十分に確立されています。交換の化学量論は3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺であり、交換体は電気発生性で電圧感受性です。Na/K交換体も詳細に記述されており、化学量論は 3 Na ⁺ : 2 K ⁺です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

状態変数が4つあるため、位相空間における経路の可視化は困難になる場合があります。通常は2つの変数、電圧が選択されます。${\displaystyle V_{m}(t)}$カリウムゲート変数${\displaystyle n(t)}$これにより、リミットサイクルを視覚化することができる。しかし、これは4次元システムを視覚化するための暫定的な方法であるため、注意が必要である。これはリミットサイクルの存在を証明するものではない。

システムのヤコビ行列を平衡点で評価し、注意深く解析することで、より適切な射影を構築できます。具体的には、ヤコビ行列の固有値は中心多様体の存在を示しています。同様に、ヤコビ行列の固有ベクトルは中心多様体の向きを示しています。ホジキン・ハクスリーモデルには、2つの負の固有値と、実部がわずかに正の2つの複素固有値があります。2つの負の固有値に関連付けられた固有ベクトルは、時間tが増加するにつれてゼロに減少します。残りの2つの複素固有ベクトルが中心多様体を定義します。言い換えれば、4次元システムは2次元平面に縮退します。中心多様体から始まる解はすべて、中心多様体に向かって減衰します。さらに、リミットサイクルは中心多様体上に含まれています。

注入電流が${\displaystyle I}$が分岐パラメータとして使用された場合、ホジキン・ハクスリーモデルはホップ分岐を起こします。ほとんどのニューロンモデルと同様に、注入電流を増やすとニューロンの発火率が上がります。ホップ分岐の結果の1つは、最小発火率が存在することです。これは、ニューロンがまったく発火しない（ゼロ周波数に対応）か、最小発火率で発火するかのどちらかであることを意味します。全か無かの原理のため、活動電位振幅は滑らかに増加するのではなく、振幅が突然「ジャンプ」します。結果として生じる遷移はカナードとして知られています。