膜電位に関するネルンスト方程式の一般化
ゴールドマン ・ホジキン・カッツ電圧方程式は、 ゴールドマン方程式 とも呼ばれ 、細胞膜 生理学において、細胞膜を 通過 するすべてのイオンを考慮して細胞膜全体の 静止電位を 決定するために使用されます 。
この発見者は コロンビア大学 の デイビッド・E・ゴールドマン と、ノーベル医学賞受賞者の アラン・ロイド・ホジキン と バーナード・カッツ です。
一価イオンの式 一価の正 イオン 種と負イオン種 の GHK 電圧方程式 :
ま
{\displaystyle M}
あ
{\displaystyle A}
え
メートル
=
R T
ふ
行
（
∑
私
ん
ポ
ま
私
+
[
ま
私
+
]
o あなた t
+
∑
じゅう
メートル
ポ
あ
じゅう
−
[
あ
じゅう
−
]
私 ん
∑
私
ん
ポ
ま
私
+
[
ま
私
+
]
私 ん
+
∑
じゅう
メートル
ポ
あ
じゅう
−
[
あ
じゅう
−
]
o あなた t
）
{\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}
2つの溶液 を分離する膜を考えると、次のようになります。 [1] [2] [3]
け
x
いいえ 1つの
1 − x
Ｃ l
{\displaystyle \mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} }
え
メートル 、
け
x
ナ
1 − x
Ｃ l
=
R T
ふ
行
（
ポ
ナ
[
ナ
+
]
o あなた t
+
ポ
け
[
け
+
]
o あなた t
+
ポ
塩素
[
塩素
−
]
私 ん
ポ
ナ
[
ナ
+
]
私 ん
+
ポ
け
[
け
+
]
私 ん
+
ポ
塩素
[
塩素
−
]
o あなた t
）
{\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{ -}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}
これは「 ネルンスト 型」ですが、各透過イオンごとに項があります。
え
メートル 、
ナ
=
R T
ふ
行
（
ポ
ナ
[
ナ
+
]
o あなた t
ポ
ナ
[
ナ
+
]
私 ん
）
=
R T
ふ
行
（
[
ナ
+
]
o あなた t
[
ナ
+
]
私 ん
）
{\displaystyle E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}
E
m
{\displaystyle E_{m}}
= 膜電位（ ボルト、 ジュール / クーロン に相当 ）
P
i
o
n
{\displaystyle P_{\mathrm {ion} }}
= そのイオンの選択性（メートル毎秒）
[
i
o
n
]
o
u
t
{\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }}
= そのイオンの細胞外濃度（他の SI 単位系に合わせて立方メートルあたりの モル数 で表す） [4]
[
i
o
n
]
i
n
{\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }}
= そのイオンの細胞内濃度（立方メートルあたりのモル数） [4]
R
{\displaystyle R}
= 理想気体定数 （ジュール/ ケルビン /モル） [4]
T
{\displaystyle T}
= ケルビン単位の温度 [4]
F
{\displaystyle F}
= ファラデー定数 （クーロン/モル）
R
T
F
{\displaystyle {\frac {RT}{F}}}
は人体温度（37℃）で約26.7 mVです。自然対数lnと10を底とする対数との間の底変換式を考慮すると、 神経科学でよく使用される値
になります。
(
[
log
10
exp
(
1
)
]
−
1
=
ln
(
10
)
=
2.30258...
)
{\displaystyle ([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)}
26.7
m
V
⋅
2.303
=
61.5
m
V
{\displaystyle 26.7\,\mathrm {mV} \cdot 2.303=61.5\,\mathrm {mV} }
E
X
=
61.5
m
V
⋅
log
(
[
X
+
]
o
u
t
[
X
+
]
i
n
)
=
−
61.5
m
V
⋅
log
(
[
X
−
]
o
u
t
[
X
−
]
i
n
)
{\displaystyle E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}
イオン電荷によって膜電位の寄与の符号が決まります。活動電位の間、膜電位は約 100mV 変化しますが、細胞内外のイオン濃度は大きく変化しません。イオン濃度は常に、膜が静止電位にあるときのそれぞれの濃度に非常に近くなります。
最初の項を計算する 、、 （体温を想定） と、1ボルトは1クーロンの電荷あたり1ジュールのエネルギーに等しいという事実を
用いると、次の式が成り立つ。
R
≈
8.3
J
K
⋅
m
o
l
{\displaystyle R\approx {\frac {8.3\ \mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}}
F
≈
9.6
×
10
4
J
m
o
l
⋅
V
{\displaystyle F\approx {\frac {9.6\times 10^{4}\ \mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {V} }}}
T
=
37
∘
C
=
310
K
{\displaystyle T=37\ ^{\circ }\mathrm {C} =310\ \mathrm {K} }
E
X
=
R
T
z
F
ln
X
o
X
i
{\displaystyle E_{X}={\frac {RT}{zF}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}}
次のように削減できる
E
X
≈
0.0267
V
z
ln
X
o
X
i
=
26.7
m
V
z
ln
X
o
X
i
≈
61.5
m
V
z
log
X
o
X
i
since
ln
10
≈
2.303
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{X}&\approx {\frac {0.0267\ \mathrm {V} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&={\frac {26.7\ \mathrm {mV} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&\approx {\frac {61.5\ \mathrm {mV} }{z}}\log {\frac {X_{o}}{X_{i}}}&{\text{ since }}\ln 10\approx 2.303\end{aligned}}}
これはネルンスト方程式 です 。
導出 ゴールドマンの方程式は、膜を横切る 電圧 E m を 決定することを目的としています。 [5] 直交 座標系を 使用してシステムを記述し、 z 方向は膜に垂直です。システムが x 方向と y 方向 (それぞれ軸索の周囲と軸索に沿って) で対称であると仮定すると、 z 方向のみを考慮する必要があります。したがって、電圧 E m は 膜を横切る
電界 の z 成分の 積分 です。
ゴールドマンのモデルによれば、透過性膜を横切るイオンの動きに影響を与える要因は、平均電界と膜の片側から反対側までのイオン 濃度 の差の 2 つだけです。電界は膜全体で一定であると想定されるため、 E m / L に等しく設定できます( L は膜の厚さ)。価数が n A のイオン A の場合、その フラックス j A (つまり、膜の面積あたりおよび時間あたりに通過するイオンの数) は、次の式で与えられます
。
j
A
=
−
D
A
(
d
[
A
]
d
z
−
n
A
F
R
T
E
m
L
[
A
]
)
{\displaystyle j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)}
最初の項は フィックの拡散の法則に対応し、 濃度 勾配に沿った 、すなわち高濃度から低濃度への 拡散 によるフラックスを与えます。定数 D A はイオン A の 拡散定数 です。2 番目の項は電場による フラックスを 反映しており、電場とともに直線的に増加します。正式には、[A] にイオンのドリフト速度を掛けたものであり、 ドリフト速度は 電気泳動移動度 に適用された ストークス-アインシュタインの関係 を使用して表されます 。ここでの定数は、 イオン A の 電荷価 数 n A (たとえば、 K + の場合は +1 、 Ca 2+の場合は +2、 Cl − の場合は -1 )、 温度 T ( ケルビン 単位)、モル 気体定数 R 、および ファラデー F ( 電子 1 モルの全電荷 ) です 。
これはy' = ay + bの 形の 1階常微分 方程式 で、 y = [A]、 y' = d[A]/d z です。境界条件[A](0) = [A] in および[A]( L ) = [A] out で両辺を z =0から z = L まで積分すると、解が得られます。
j
A
=
μ
n
A
P
A
[
A
]
o
u
t
−
[
A
]
i
n
e
n
A
μ
1
−
e
n
A
μ
{\displaystyle j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}}
ここでμは無次元数である
μ
=
F
E
m
R
T
{\displaystyle \mu ={\frac {FE_{m}}{RT}}}
P A は イオン 透過率であり、次のように定義される。
P
A
=
D
A
L
{\displaystyle P_{\mathrm {A} }={\frac {D_{\mathrm {A} }}{L}}}
電流 密度 J Aは イオン の電荷 q A と磁束 j Aの積に等しい。
J
A
=
q
A
j
A
{\displaystyle J_{A}=q_{\mathrm {A} }j_{\mathrm {A} }}
電流密度の単位は (アンペア/m 2 ) です。モル流束の単位は (mol/(sm 2 )) です。したがって、モル流束から電流密度を得るには、ファラデー定数 F (クーロン/モル) を掛ける必要があります。すると、以下の式から F が消えます。価数は既に上で説明されているため、上記の式の各イオンの電荷 q A は 、イオンの極性に応じて +1 または -1 として解釈する必要があります。
膜を通過できるすべての種類のイオンにはこのような電流が伴う。これは、イオンの種類ごとに拡散のバランスをとるために異なる膜電位が必要であるが、膜電位は1つしか存在しないためである。仮定によれば、ゴールドマン電圧 E m では、総電流密度はゼロである。
J
t
o
t
=
∑
A
J
A
=
0
{\displaystyle J_{tot}=\sum _{A}J_{A}=0}
（ここで考慮される各イオンタイプの電流はゼロではないが、膜には Na + /K + -ATPase などの他のポンプがあり、ここでは考慮されていないが、各イオンの電流のバランスをとる役割を果たし、膜の両側のイオン濃度が平衡状態で時間とともに変化しない。）すべてのイオンが一価の場合、つまりすべてのn A が +1または-1の場合、この式は次のように書ける。
w
−
v
e
μ
=
0
{\displaystyle w-ve^{\mu }=0}
その解はゴールドマン方程式である
F
E
m
R
T
=
μ
=
ln
w
v
{\displaystyle {\frac {FE_{m}}{RT}}=\mu =\ln {\frac {w}{v}}}
どこ
w
=
∑
c
a
t
i
o
n
s
C
P
C
[
C
+
]
o
u
t
+
∑
a
n
i
o
n
s
A
P
A
[
A
−
]
i
n
{\displaystyle w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {in} }}
v
=
∑
c
a
t
i
o
n
s
C
P
C
[
C
+
]
i
n
+
∑
a
n
i
o
n
s
A
P
A
[
A
−
]
o
u
t
{\displaystyle v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {out} }}
カルシウム などの二価イオンを考慮すると、 e μ の 2乗 である e 2μ などの項が現れます 。この場合、ゴールドマン方程式の式は 二次方程式 を使用して解くことができます。
参照
参考文献
^ エンデルル、ジョン (2005-01-01)、エンデルル、ジョン D.、ブランチャード、スーザン M.、ブロンズィーノ、ジョセフ D. (編)、「生体電気現象」、 バイオメディカル エンジニアリング入門 (第 2 版) 、バイオメディカル エンジニアリング、ボストン: アカデミック プレス、pp. 627–691、 doi :10.1016/b978-0-12-238662-6.50013-6、 ISBN 978-0-12-238662-6 、 2020年10月23日 取得 ^ Reuss, Luis (2008-01-01)、Alpern, Robert J.、Hebert, Steven C. (編)、「第 2 章 - 細胞膜と上皮を介したイオン輸送のメカニズム」、 Seldin および Giebisch の The Kidney (第 4 版) 、サンディエゴ: Academic Press、pp. 35–56、 doi :10.1016/b978-012088488-9.50005-x、 ISBN 978-0-12-088488-9 、 2020年10月23日 取得 ^ Enderle, John D. (2012-01-01)、Enderle, John D.、Bronzino, Joseph D. (編)、「第 12 章 – 生体電気現象」、 バイオメディカル エンジニアリング入門 (第 3 版) 、バイオメディカル エンジニアリング、ボストン: Academic Press、pp. 747–815、 doi :10.1016/b978-0-12-374979-6.00012-5、 ISBN 978-0-12-374979-6 、 2020年10月23日 取得 ^ abcd Bhadra, Narendra (2015-01-01)、Kilgore, Kevin (ed.)、「2 - 電気刺激の生理学的原理」、 機能回復のための埋め込み型神経プロテーゼ 、Woodhead Publishing バイオマテリアルシリーズ、Woodhead Publishing、pp. 13–43、 doi :10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1、 ISBN 978-1-78242-101-6 、 2020年10月23日 取得 ^ Junge D (1981). 神経と筋肉の興奮 （第2版）. サンダーランド、マサチューセッツ州：Sinauer Associates. pp. 33–37. ISBN 0-87893-410-3 。
外部リンク 閾値下膜現象ゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式のよく説明された導出を含む ネルンスト/ゴールドマン方程式シミュレーター 2010-08-08 に Wayback Machineでアーカイブ ゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式計算機 Nernst/Goldman インタラクティブ Java アプレット 細胞の内部と外部のイオン数が変化すると、膜電圧がインタラクティブに計算されます。 ゴールドマン著「膜の電位、インピーダンス、整流作用」（1943年） 
![{\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e290b78cf2f968293d8dde2a4732c6d22c6d1226)
![{\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{ -}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc6125fa94136c1129f1916983a111125d2cec0)
![{\displaystyle E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na} }}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }} {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e23635546a7ae909906ab4f7bbe494a008ac21)
![{\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b45503a36c7065736255a414f281a1eeddb7d1)
![{\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc42d1be27448fd8c34c6386add9252916db6f87)
![{\displaystyle ([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7288c5a917b214088f58256a763e83efacacf5)
![{\displaystyle E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022bfeb302f39fa2f92b380022d796e582d3f208)
![{\displaystyle j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f62d0c4be3a7ae1d5cbb665f8221253e6659cc)
![{\displaystyle j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm { out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f320d2dcc170f28d58f7c009ee08dda90966a479)
![{\displaystyle w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\ sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {で} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15f1f2882155ebbb413533c166b948c65ee52d0)
![{\displaystyle v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\ sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {外} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf3abb94458c57266d3533d947bfe286c91094f)