ヘロンの公式

代数学を用いた現代的な証明は、ヘロンによるものとは全く異なり、以下に示す。[ ^{10 ]と} おく${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$⁠ ⁠${\displaystyle c}$三角形の辺と${\displaystyle \alpha ,}$⁠ ⁠${\displaystyle \beta ,}$⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$それらの辺 角。余弦定理を適用すると、$${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$$

この証明から、次の代数的命題が得られる。 $${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-{\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}}}{2ab}}.}$$

底辺上の三角形の高さ${\displaystyle a}$長さがあります${\displaystyle b\sin \gamma }$⁠、そしてそれは続く $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-{\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+bc}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.\end{aligned}}}$$

以下の証明は、ライファイゼンによる証明と非常によく似ている。[ ^{11 ]ピタゴラスの定理}により 、${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$そして${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(cd)^{2}}$右の図によると、これらを差し引くと${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$この方程式により、${\displaystyle d}$三角形の辺の長さに関して言えば ：$${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$$ 三角形の高さについては、${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$置き換えることで${\displaystyle d}$上記の式を用いて、二乗の差の恒等 式を適用すると、$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(bc)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac \end{aligned}$$

次に、この結果を、三角形の高さから面積を計算する公式に適用します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(sa)(sb)(sc)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.\end{aligned}}}$$

もし​${\displaystyle r}$は三角形の内接円の半径であり、この三角形は高さが等しい3つの三角形に分割できる。${\displaystyle r}$⁠そしてベース⁠${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$そして​​${\displaystyle c.}$それらの合計面積は $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$$ どこ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$は半周長です。

この三角形は、高さがそれぞれ異なる6つの三角形（合同なペア）に分割することもできます。${\displaystyle r}$⁠そしてベース⁠${\displaystyle sa,}$⁠ ⁠${\displaystyle sb,}$そして​​${\displaystyle sc}$結合面積の（余接法則を参照） $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(sa)+r(sb)+r(sc)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {sa}{r}}+{\frac {sb}{r}}+{\frac {sc}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {sa}{r}}\cdot {\frac {sb}{r}}\cdot {\frac {sc}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(sa)(sb)(sc)}{r}}.\end{aligned}}}$$

上の真ん中の段は${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$$\cot{\tfrac{\alpha}{2}}\cot{\tfrac{\beta}{2}}\cot{\tfrac{\gamma}{2}}}$、三重余接の恒等式は、半角の和が${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

この2つを組み合わせると、 $${\displaystyle A^{2}=s(sa)(sb)(sc),}$$ そこから結果が導き出される。

与えられた3つの辺の長さのうち1つが他の2つの辺の長さの和と等しい場合、その3辺は退化三角形、つまり面積がゼロの線分を形成します。この場合、半周長は最長辺と等しくなり、ヘロンの公式はゼロになります。

与えられた3つの長さのうち1つが他の2つの長さの合計よりも大きい場合、それらは三角形の不等式に違反し、ユークリッド三角形の辺を表しません。この場合、ヘロンの公式は虚数の結果を与えます。たとえば、⁠${\displaystyle a=3}$そして​​${\displaystyle b=c=1}$⁠、それから⁠${\displaystyle \textstyle A={\tfrac {3{\sqrt {5}}}{4}}i}$これは、複素座標平面 上の三角形を用いて解釈することができる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ここで「面積」は複素数値の量、または空間のような次元と時間のような次元をそれぞれ1つずつ持つ擬ユークリッド平面上の三角形として表すことができる。 ^{[ 18 ]}

もし​${\displaystyle U,}$⁠ ⁠${\displaystyle V,}$⁠ ⁠${\displaystyle W,}$⁠ ⁠${\displaystyle u,}$⁠ ⁠${\displaystyle v,}$⁠ ⁠${\displaystyle w}$⁠は正四面体の辺の長さです（最初の3つは三角形を形成します）。${\displaystyle u}$反対の​${\displaystyle U}$⁠など）、それから^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {{\vphantom {y}}xYZ}},\qquad b={\sqrt {XyZ}},&c&={\sqrt {{\vphantom {y}}XYz}},\qquad d={\sqrt {{\vphantom {X}}xyz}},\\[4mu]X&=(-U+v+w)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(U+vw),\\Y&=(-V+w+u)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(V+wu),\\Z&=(-W+u+v)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(W+uv).\end{aligned}}}$$

ルユリエの公式は、球面幾何学における三角形の面積と辺の長さの関係を表しています。辺の長さが の球面三角形の場合、${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$そして​​${\displaystyle c}$半周長​${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$⁠、そしてエリア⁠${\displaystyle S}$⁠ , ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {sa}{2}}\tan {\frac {sb}{2}}\tan {\frac {sc}{2}}}$$

双曲幾何学における三角形の場合、類似の公式は次のようになる。 $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {sa}{2}}\tanh {\frac {sb}{2}}\tanh {\frac {sc}{2}}.}$$