グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理

グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理

グロタンディークのグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理に関するコメント
分野	代数幾何学
最初の証明	アレクサンダー・グロタンディーク
最初の証明	1957
一般化	アティヤ・シンガー指数定理
結果	ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理 曲面に関するリーマン・ロッホの定理 リーマン・ロッホの 定理

数学、特に代数幾何学において、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、コヒーレントコホモロジーに関する広範囲にわたる結果である。これは、複素多様体に関するヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の一般化であり、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理自体は、コンパクトリーマン面上の直線束に対する古典的なリーマン・ロッホの定理の一般化である。

リーマン・ロッホ型の定理は、ベクトル束のコホモロジーのオイラー特性をその位相次数、またはより一般的には (コ) ホモロジーまたはその代数的類似物における特性類に関連付けます。古典的なリーマン・ロッホの定理は曲線と線束に対してこれを行いますが、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理はこれを多様体上のベクトル束に一般化します。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、2 つの多様体 (またはより一般的なスキーム) 間の射の相対的な状況に両方の定理を設定し、定理を単一の束に関する記述から層の連鎖複体に適用される記述に変更します。

この定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の発展に多大な影響を与えた。逆に、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の複素解析的類似物は、族の指数定理を使って証明できる。アレクサンダー・グロタンディークは1957年の原稿で最初の証明を与え、後に出版された。^[1] アルマン・ボレルとジャン＝ピエール・セールは1958年にグロタンディークの証明を書き上げ出版した。 ^[2]その後、グロタンディークと彼の協力者は証明を簡略化し一般化した。^[3]

X を体上の滑らかな 準射影スキームとします。これらの仮定の下で、連接層の有界複体のグロタンディーク群は、有限階数ベクトル束の有界複体のグロタンディーク群と標準同型です。この同型を使用して、チャーン キャラクター(チャーン類の有理的組み合わせ) を関数変換として考えます。 ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}$

ここで、 は有理数同値性を法とする次元d のX上のサイクルのChow 群であり、有理数でテンソル化されています。Xが複素数上で定義されている場合、後者の群は位相コホモロジー群にマッピングされます。 ${\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}$

ここで、滑らかな準 射影スキームと、${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}$${\displaystyle X.}$

グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、プッシュフォワード写像と

${\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}$

（高次の直接像の交互和）とプッシュフォワード

${\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}$

式によって

c h ( f ! F ∙ ) t d ( Y ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( X ) ) です。{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

ここで、Xの接線束のトッド種数である。したがって、この定理は、上記の意味での押し進めの可換性の欠如とチャーン特性に対する正確な尺度を与え、必要な補正係数がXとYのみに依存することを示す。実際、トッド種数は正確なシーケンスで関数的かつ乗法的であるため、グロタンディーク-リーマン-ロッホの公式を次のように書き直すことができる 。${\displaystyle \mathrm {td} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet } )\mathrm {td} (T_{f})),}$

ここで、はfの相対接線層であり、の元として定義されます。たとえば、fが滑らかな射である場合、は単なるベクトル束であり、fのファイバーに沿った接線束と呼ばれます。 ${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle TX-f^{*}(TY)}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle T_{f}}$

A ¹ -ホモトピー理論を用いて、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、Navarro & Navarro (2017) によって、f が2 つの滑らかなスキーム間の適切な写像である状況にまで拡張されました。

定理の一般化は、組み合わせの適切な一般化を考慮することによって滑らかでないケースに行うことができ、コンパクトなサポートを持つコホモロジーを考慮することによって適切でないケースに行うことができます。 ${\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}$

算術リーマン・ロッホの定理は、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を算術スキームに拡張します。

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、 （本質的には） Yが点であり、体が複素数体である 場合の特殊なケースです。

リーマン・ロッホ定理の有向コホモロジー理論に対するバージョンは、イヴァン・パニンとアレクサンダー・スミルノフによって証明されました。^{[4]これは、代数的有向コホモロジー理論（}代数的コボルディズムなど）間の乗法演算に関するものです。グロタンディーク・リーマン・ロッホはこの結果の特殊なケースであり、この設定ではチャーン特性が自然に現れます。^[5]

体上の滑らかな射影曲線上の階数と次数（行列式の次数、またはそれと同等にその最初のチャーン類の次数として定義される）のベクトル束は、直線束に対するリーマン・ロッホの公式に似た公式を持つ。と点を取ると、グロタンディーク・リーマン・ロッホの公式は次のように読める。 ${\displaystyle E\to C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X=C}$${\displaystyle Y=\{*\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}$^[6]

この式は、ランクと次数の連接層にも当てはまります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

グロタンディーク・リーマン・ロッホ公式の利点の1つは、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホ公式の相対バージョンとして解釈できることです。たとえば、滑らかな射影は、すべて等次元の（そして基底を に変えたとき位相空間として同型である）繊維を持ちます。この事実は、滑らかな固有空間をパラメータ化するモジュライ空間を考えるときにモジュライ理論で役立ちます。たとえば、デイビッド・マンフォードはこの公式を使用して、代数曲線 のモジュライ空間上のチョウ環の関係を導きました。^[7]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

種数曲線のモジュライスタック（マークされた点なし）に対して、種数曲線のモジュライスタックと1つのマークされた点である普遍曲線が存在する。次に、彼はトートロジークラスを定義する。${\displaystyle g}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}$

ここで、 と は相対双対層である。 の点上の繊維に注目すると、これが双対層である。彼は、 と の関係を見つけ、 を [7] (系6.2) の和で表すことで、グロタンディーク・リーマン・ロッホを用いて滑らかな軌跡のチョウ環上に記述することができた。^は滑らかなドリーニュ・マンフォードスタック であるため、彼は、ある有限群 に対して を表すスキームによる被覆を考慮した。彼は、 にグロタンディーク・リーマン・ロッホを用いて、 ${\displaystyle 1\leq l\leq g}$${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle \kappa_{i}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle \kappa_{i}}$${\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\チルダ {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega _{{\チルダ {\mathcal {C}}}_{g}/{\チルダ {\mathcal {M}}}_{g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _ {*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\チルダ {\mathcal {C}}}/{\チルダ {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }( \オメガ _{{\チルダ {\mathcal {C}}}/{\チルダ {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

なぜなら

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}} }_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\チルダ {M}},}$

この式は次のようになる

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

の計算はさらに削減できます。偶数次元では、 ${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}$${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}$

また、次元1では、

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

ここで は境界上のクラスである。 の場合、および滑らかな軌跡上では、次の関係がある。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}$

これは、のChern特性を解析することによって推測できます。 ${\displaystyle \mathbb {E} }$

閉じた埋め込みはグロタンディーク・リーマン・ロッホ公式を用いた記述も可能であり、この公式が成り立つ別の非自明なケースを示している。^[8]次元の滑らかな多様体と余次元の部分多様体に対して、公式 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

短い完全数列を使う

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}$、

公式がある

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

理想層については です。 ${\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}$

グロタンディーク・リーマン・ロッホは、尖った代数曲線のモジュライ空間のような粗いモジュライ空間が射影空間への埋め込みを許容し、したがって準射影多様体であることを証明するのに使用できる。これは、上の標準的に付随する層を見て、付随する直線束の次数を調べることで達成できる。例えば、^[9]には曲線の族がある 。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{g,n}}$

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

セクション付き

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}$

マークされた点に対応する。各ファイバーには標準バンドルがあるため、関連する線バンドルとが存在 する 。 ${\displaystyle \omega _{C}}$$${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}$$$${\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}$$

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}$

は十分な線束^{[9] pg 209}であるため、粗いモジュライ空間は準射影的である。 ${\displaystyle M_{g,n}}$

アレクサンダー・グロタンディークによるリーマン・ロッホの定理は、もともと1956年から1957年頃にジャン＝ピエール・セールに宛てた手紙の中で伝えられた。それは1957年の最初のボン作業会議で公表された。その後、セールとアルマン・ボレルはそれを理解するためにプリンストン大学でセミナーを開催した。最終的に発表された論文は、事実上ボレル・セールの解説であった。

グロタンディークのアプローチの重要性はいくつかの点にかかっています。まず、グロタンディークは定理自体を変更しました。当時、定理は多様体についての定理であると理解されていましたが、グロタンディークはそれを多様体間の射についての定理と見ていました。適切な一般化を見つけることで、証明はより簡単になり、結論はより一般的なものになりました。つまり、グロタンディークは強力なカテゴリカルアプローチを難​​しい解析に適用したのです。さらに、グロタンディークは上で述べたようにK 群を導入し、代数 K 理論への道を開いたのです。

• 川崎のリーマン・ロッホ公式

• ピエール・ベルトロ（1971年）。アレクサンドル・グロタンディーク;リュック・イリュージー(編)。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (数学の講義ノート225 )。数学の講義ノート(フランス語)。 Vol. 225.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+700。土井：10.1007/BFb0066283。ISBN 978-3-540-05647-8。
• Borel, アルマンド; Serre, Jean-Pierre (1958)、「Le théorème de Riemann–Roch」、Bulletin de la Société Mathématique de France (フランス語)、86 : 97–136、doi : 10.24033/bsmf.1500、ISSN  0037-9484、MR  0116022
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-62046-X、MR  1644323、Zbl  0885.14002
• ナバロ、アルベルト; ナバロ、ホセ (2017)、射影仮説のないリーマン-ロッホ公式について、arXiv : 1705.10769、Bibcode :2017arXiv170510769N
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000)。「代数多様体の有向コホモロジー理論における前進」。
• 「グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理」。3264 and All That。2016年。pp. 481–510。doi :10.1017 / CBO9781139062046.016。ISBN 9781107017085。

• グロタンディーク-リーマン-ロッホの定理
• MathOverflowのスレッド「Grothendieck-Riemann-Roch の応用? 」
• MathOverflowのスレッド「GRR をどう理解するか? (グロタンディーク、リーマン、ロッホ)」。
• Stack Exchangeのスレッド「理想層のチャーン類」。