パラコンパクト空間

ハウスドルフ空間がパラコンパクトであるためには、そのすべての開被覆が従属的な単位分割を許容する必要があります。if方向は単純です。次に、only if方向については、いくつかの段階でこれを実行します。 ${\displaystyle X\,}$

補題 1:が局所有限開被覆である場合、各 に対して開集合が存在し、各および は局所有限細分化である。${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle W_{U}\,}$${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

補題 2:が局所有限開被覆である場合、となる連続関数が存在し、 は常に非ゼロかつ有限である連続関数である。${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

定理:パラコンパクト ハウスドルフ空間において、 が開被覆である場合、それに従属する 1 の分割が存在する。${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

証明（補題1）:

を 内の有限個の集合とのみ出会う開集合の集合とし、その閉包は 内の集合に含まれるものとする。パラコンパクト ハウスドルフ空間は正則であり、 は局所有限であるため、これが開細分化を提供することは練習問題として確認できる。ここで、 を局所有限の開細分化で置き換えてみよう。この細分化における各集合は、元の被覆を特徴づけるものと同じ特性を持つことは簡単に確認できる。${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

ここで を定義します。 の特性は、任意のが何らかの に含まれることを保証します。したがって、はの開いた精緻化です。 であるため、この被覆は直ちに局所有限になります。${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

ここで、各 が成り立つことを示します。任意の に対して、が成り立つことを証明します。局所的に有限であると選択したので、の近傍が存在し、内の有限個の集合のみがと空でない共通部分を持ちます。これらは の定義で確認します。したがって、は と共通する 部分と、共通しない残りの部分の 2 つの部分に分解できます。つまり、これらは閉集合 に含まれます。これで が得られます。および であるため、任意の に対してが得られます。また、は の近傍の補集合であるため、にも含まれません。したがって が得られます。${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$${\displaystyle x\notin U}$${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$${\displaystyle x\notin U}$${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

証明（補題2）:

補題 1 を適用して、を および を含む連続写像とします(通常の空間内の互いに素な閉集合に対する Urysohn の補題により、これはパラコンパクト ハウスドルフ空間です)。関数のサポートとは、ここでは 0 に写らない点 (この集合の閉包ではない) を意味することに注意してください。 が常に有限かつ非ゼロであることを示すために、 を取り、 の近傍が内の有限個の集合にのみ会うとします。したがって は内の有限個の集合にのみ属します。したがって、有限個の を除くすべての に対して となります。さらに、いくつかの に対してとなります。したがっておよびも有限です。連続性を確立するために、前と同じようにを取り、 が有限であるとします。すると となり、これは連続関数となります。したがって の近傍の の下の逆像はの近傍になります。${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$${\displaystyle x\in X\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$${\displaystyle U\,}$${\displaystyle x\in W_{U}\,}$${\displaystyle U\,}$${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$${\displaystyle f(x)\,}$${\displaystyle \geq 1\,}$${\displaystyle x,N\,}$${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle f(x)\,}$${\displaystyle x\,}$

証明（定理）:

精緻化被覆 の局所有限部分被覆を取ります。補題 2 を適用すると、を伴う連続関数が得られます(したがって、各 に対して、のサポートの通常の閉じたバージョンが何らかの に含まれます。 に対して、それらの和は常に有限で非ゼロです (したがって、 は連続した正の有限値です)。 したがって、各 をで置き換えると、すべての条件が同じであれば、それらの和はどこでも となります。 最後に、に対して、を 内の有限個の集合のみに会う近傍とすると、各 であるため、有限個を除くすべての に対して となります。 したがって、元の開被覆に従属する 1 の分割が得られます。${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle 1/f\,}$${\displaystyle f_{W}\,}$${\displaystyle f_{W}/f\,}$${\displaystyle 1\,}$${\displaystyle x\in X\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$