縮小する空間

数学、特に位相の分野では、位相空間は、すべての開被覆が縮小を許容する場合、縮小性^{[ 1 ]}を持つ、または縮小空間であると言われます。開被覆の縮小とは、同じインデックス集合によってインデックス付けされた別の開被覆であり、縮小における各開集合の閉包が対応する元の開集合の内部にあるという性質を持ちます。^{[ 1 ]}

空間の縮小に関して、以下の事実が知られています。

• 空間が縮小していくのは正常なことだ。^{[ 1 ]}
• 縮小する空間はすべて可算パラコンパクトである。^{[ 1 ]}
• 通常の空間では、すべての局所的に有限な開被覆、そして実際にはすべての点有限な開被覆は縮小を許容する。^{[ 1 ]}
• したがって、すべての通常のメタコンパクト空間は縮小空間である。特に、すべてのハウスドルフパラコンパクト空間は縮小空間である。^{[ 1 ]}

これらの事実は、開被覆の縮小が微分多様体の理論や単位の分割を用いた関数の構成において一般的な手法であるため、特に重要です。

• 一般位相幾何学、スティーブン・ウィラード著、定義15.9、104 ページ