ゾルゲンフライ飛行機

位相幾何学において、ソルゲンフライ平面は、一見もっともらしく聞こえる多くの予想に対する反例として頻繁に引用される。これは、実数直線であるソルゲンフライ直線の2つのコピーの積から構成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$半開区間位相の下で。ソルゲンフレイ直線とソルゲンフレイ平面は、アメリカの数学者ロバート・ソルゲンフレイにちなんで名付けられました。

ゾルゲンフライ平面の基底は、${\displaystyle \mathbb {S} }$以降、は、西端、南西の角、南端を含み、南東の角、東端、北東の角、北端、北西の角を除いた 長方形の集合である。${\displaystyle \mathbb {S} }$これらは、そのような長方形の和集合である。

${\displaystyle \mathbb {S} }$は、リンデレーフ空間の産物でありながら、それ自体はリンデレーフ空間ではない空間の一例である。いわゆる反対角${\displaystyle \Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}}$これはこの空間の非可算離散部分集合であり、これは可分空間の非可分部分集合である。${\displaystyle \mathbb {S} }$これは、分離可能性が閉部分空間に継承されないことを示している。${\displaystyle K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}}$そして${\displaystyle \Delta \setminus K}$これらは閉集合であり、開集合によって分離できないことが証明され、${\displaystyle \mathbb {S} }$これは正規空間ではない。したがって、正規空間の積が正規空間であるという考え方に対する反例となる。実際、これは完全正規空間の有限積でさえ正規空間であるとは限らないことを示している。

• トポロジーの一覧
• ムーアプレーン

• ケリー、ジョン L. (1955).一般トポロジー.ヴァン・ノストランド.ジョン・L・ケリー著『一般トポロジー』（ 1975年） として再版。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-90125-6。
• ロバート・ソーゲンフレイ、「パラコンパクト空間の位相積について」、Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632。
• スティーン、リン・アーサー；シーバック、J・アーサー・ジュニア（1995）[1978]。トポロジーにおける反例（1978年版のドーバー 復刻版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 .