バグパイプ定理

数学において、ピーター・ニコスのバグパイプ定理は、連結した（ただし、パラコンパクトではない可能性のある）ω境界曲面の構造を、それらが「バグパイプ」、すなわち複数の「長いパイプ」を持つコンパクトな「バッグ」の連結和であることを示すことによって記述する。 ^{[ 1 ]}

空間は、すべての可算集合の閉包がコンパクトである場合にω-有界であると呼ばれる。コンパクト性はω-有界性を意味するが、一般にその逆は成り立たない。例えば、最初の非可算順序数は$\displaystyle \omega _{1}}$順序位相と長直線はどちらもω有界であるがコンパクトではない。しかし、距離空間においては、この2つの概念は同等である。

バグパイプ定理は、すべてのω境界付き連結曲面は、コンパクト連結曲面と有限個の長いパイプ（以下に定義）の連結和であると述べている。

空間 P には部分空間が存在する場合、その空間は長いパイプと呼ばれる。${\displaystyle \{U_{\alpha }:\alpha <\omega _{1}\}}$それぞれが同形である$\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$そのため、${\displaystyle n<m}$、${\displaystyle {\overline {U_{n}}}\subseteq U_{m}}$そして境界は${\displaystyle U_{n}}$で${\displaystyle U_{m}}$は同相である$\displaystyle S^{1}}$長いパイプの最も単純な例は製品です。$\displaystyle S^{1}\times L^{+}}$円の$\displaystyle S^{1}}$そして長く閉じた光線$\displaystyle L^{+}}$これは、$\displaystyle \omega _{1}}$半開区間のコピー${\displaystyle [0,1)}$辞書式順序で貼り付けます。もう1つの長いパイプは、「長い平面」から1点を取り除くことによって得られます。${\displaystyle L\times L}$、 どこ${\displaystyle L}$長い列です。実際には${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$長いパイプの異なる同型類。

バグパイプ定理はすべての曲面を記述するものではなく、プリューファー多様体のようにω境界を持たない曲面の例は数多く存在する。

• Nyikos, Peter ( 1984). 「非計量化多様体の理論」。Kunen , Kenneth 、Vaughan , Jerry E. (編) 『集合論的トポロジーハンドブック』所収。North Holland、pp. 633–684。doi : 10.1016 /B978-0-444-86580-9.50017-3。ISBN  978-0-444-86580-9. MR 0776633 .