ランク分解

数学では、ある場が与えられたとき $\mathbb {F}$ 、非負整数 $m,n$ 行列 $\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ 、 $A$ のランク分解またはランク因子分解は、 $A$ $=$ $CF$ の形の $A$ の因子分解であり、ここで $\displaystyle C\in \mathbb {F} ^{m\times r}}$ そして $F\in \mathbb {F} ^{r\times n}$ 、どこ $r=\operatorname {rank} A$ ランクは $A$ 。

存在

すべての有限次元行列はランク分解を持つ。 ${\textstyle A}$ になる ${\textstyle m\times n}$ 列ランクが ${\textstyle r}$ したがって、 ${\textstyle r}$ 線形独立な列 ${\textstyle A}$ ; 同等に、列空間の次元は ${\textstyle A}$ は ${\textstyle r}$ 。させて ${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$ 列空間の基底となる ${\textstyle A}$ そしてそれらを列ベクトルとして配置して ${\textstyle m\times r}$ マトリックス ${\textstyle C={\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{1}&\mathbf {c} _{2}&\cdots &\mathbf {c} _{r}\end{bmatrix}}}$ したがって、 ${\textstyle A}$ は列の線形結合です ${\textstyle C}$ 正確に言うと、もし ${\textstyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}}$ は ${\textstyle m\times n}$ 行列 $\textstyle \mathbf {a} _{j}}$ として ${\textstyle j}$ 列目、次に

\mathbf {a} _{j}=f_{1j}\mathbf {c} _{1}+f_{2j}\mathbf {c} _{2}+\cdots +f_{rj}\mathbf {c} _{r},

どこ ${\textstyle f_{ij}}$ は、のスカラー係数です。 $\textstyle \mathbf {a} _{j}}$ 基礎の観点から ${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$ これは、 ${\textstyle A=CF}$ 、どこ ${\textstyle f_{ij}}$ は ${\textstyle (i,j)}$ の番目の要素 ${\textstyle F}$ 。

非一意性

もし ${\textstyle A=C_{1}F_{1}}$ はランク分解であり、 ${\textstyle C_{2}=C_{1}R}$ そして ${\textstyle F_{2}=R^{-1}F_{1}}$ 任意の可逆行列に対して別のランク分解を与える ${\textstyle R}$ 互換性のある寸法であること。

逆に、 ${\textstyle A=F_{1}G_{1}=F_{2}G_{2}}$ は 2 階数の因数分解である ${\textstyle A}$ すると、可逆行列が存在する。 ${\textstyle R}$ そのため ${\textstyle F_{1}=F_{2}R}$ そして ${\textstyle G_{1}=R^{-1}G_{2}}$ [ ¹^]

工事

簡約行階段形からのランク分解

実際には、次のように特定のランク分解を構築できます。 ${\textstyle B}$ 簡約行階段形 ${\textstyle A}$ 。それから ${\textstyle C}$ から除去することによって得られる ${\textstyle A}$ すべての非ピボット列（列を調べることで判別可能） ${\textstyle B}$ ピボットを含まないもの）、 ${\textstyle F}$ は、すべてのゼロ行を削除することによって得られます。 ${\textstyle B}$ 。

注:フルランク正方行列の場合(つまり、 ${\textstyle n=m=r}$ この手順では、自明の結果が得られます。 ${\textstyle C=A}$ そして ${\textstyle F=B=I_{n}}$ （ ${\textstyle n\times n}$ 単位行列）。

例

行列を考える

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}

${\textstyle B}$ 縮小された階層構造になっている。

それから ${\textstyle C}$ は、3 列目を削除することによって得られます。 ${\textstyle A}$ ピボット列ではない唯一の列であり、 ${\textstyle F}$ 最後のゼロ行を取り除くことで ${\textstyle B}$ 、それで

C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}

確認するのは簡単です

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}

証拠

させて ${\textstyle P}$ になる ${\textstyle n\times n}$ 置換行列 ${\textstyle AP=(C,D)}$ ブロック分割形式で、列は ${\textstyle C}$ は ${\textstyle r}$ ピボット列 ${\textstyle A}$ . すべての列 ${\textstyle D}$ は列の線形結合です ${\textstyle C}$ 行列が存在する ${\textstyle G}$ そのため ${\textstyle D=CG}$ 列が ${\textstyle G}$ それぞれの線形結合の係数が含まれています。 ${\textstyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$ 、 ${\textstyle I_{r}}$ である ${\textstyle r\times r}$ 単位行列。これから示すのは ${\textstyle (I_{r},G)=FP}$ 。

変革する ${\textstyle A}$ 縮小された行階段形に ${\textstyle B}$ 行列を左から乗算することに相当する ${\textstyle E}$ これは基本行列の積なので、 ${\textstyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$ 、どこ ${\textstyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$ すると、次のように書ける ${\textstyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$ これにより、 ${\textstyle (I_{r},G)=FP}$ つまり、ゼロでない ${\textstyle r}$ 簡約階段形の行で、列の順列は、 ${\textstyle A}$ ということで、 ${\textstyle AP=CFP}$ 、そして ${\textstyle P}$ 可逆であるということは、 ${\textstyle A=CF}$ 証明は完了した。

特異値分解

もし $\mathbb {F} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \},$ すると、フルランク分解も構築できる。 ${\textstyle A}$ 特異値分解を介して

A=U\Sigma V^{*}={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Sigma _{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}^{*}\\V_{2}^{*}\end{bmatrix}}=U_{1}\left(\Sigma _{r}V_{1}^{*}\right).

以来 ${\textstyle U_{1}}$ はフル列ランク行列であり、 ${\textstyle \Sigma _{r}V_{1}^{*}}$ はフル行ランク行列なので、 ${\textstyle C=U_{1}}$ そして ${\textstyle F=\Sigma _{r}V_{1}^{*}}$ 。

結果

rank(A) = rank(A ^T )

ランク分解の直接的な結果として、 ${\textstyle A}$ 転置のランクに等しい ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ 列が ${\textstyle A}$ 列は ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ 列ランク ${\textstyle A}$ 行ランクに等しい。^{[ 2 ]}

証明：これがなぜ正しいのかを確認するために、まずランクを列ランクと定義しましょう。 ${\textstyle A=CF}$ したがって、 ${\textstyle A^{\textsf {T}}=F^{\textsf {T}}C^{\textsf {T}}}$ 行列乗算の定義から、これは各列が ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ は列の線形結合です ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ したがって、列空間は ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ 列空間内に含まれています ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ したがって、 ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(F^{\textsf {T}}\right)}$ 。

今、 ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ は ${\textstyle n\times r}$ なので、 ${\textstyle r}$ 列 ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ したがって、 ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq r=\operatorname {rank} \left(A\right)}$ これは、 ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$ 。

結果を ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ 逆の不等式を得るには、 ${\textstyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}=A}$ 書くことができる ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(\left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ これは証明する ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ 。

したがって、我々は証明した ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$ そして ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ 、それで ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ 。

注記

↑ Piziak, R.; Odell, PL (1999年6月1日). "行列の完全ランク分解". Mathematics Magazine . 72 (3): 193. doi : 10.2307/2690882 . JSTOR 2690882 .
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

参考文献

Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014),統計学のための線形代数と行列解析、統計科学テキスト（第1 版）、Chapman and Hall/CRC、ISBN 978-1420095388
レイ、デイビッド C. (2005)、線形代数とその応用（第3 版）、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-70970-4
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations , Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
スチュワート、ギルバート W. (1998)、行列アルゴリズム I. 基本分解、SIAM、ISBN 978-0-89871-414-2
Piziak, R.; Odell, PL (1999年6月1日). "行列の完全ランク分解". Mathematics Magazine . 72 (3): 193. doi : 10.2307/2690882 . JSTOR 2690882 .

[1] Piziak, R.; Odell, PL (1999年6月1日). "行列の完全ランク分解". Mathematics Magazine . 72 (3): 193. doi : 10.2307/2690882 . JSTOR 2690882 .

[banerjee-roy-2] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

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存在

非一意性

工事

簡約行階段形からのランク分解

例

証拠

特異値分解

結果

rank(A) = rank(A T )

注記

参考文献

関連するトピック

数学

場が与えられたとき

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因子分解

rank(A) = rank(A ^T )