ラドン変換

数学において、ラドン変換は、平面上で定義された関数f を平面内の（2次元）直線空間上で定義された関数Rfに変換する積分変換であり、特定の直線におけるその値は、その直線上の関数の線積分に等しい。この変換は1917年にヨハン・ラドン^[1]によって導入され、彼は逆変換の公式も提供した。ラドンはさらに、積分が平面上で行われる3次元の変換の公式を含めた（直線上の積分はX線変換として知られている）。これは後に、より高次元のユークリッド空間に一般化され、より広く積分幾何学の文脈で一般化された。ラドン変換の複雑な類似物はペンローズ変換として知られている。ラドン変換は、物体の断面スキャンに関連する投影データから画像を作成する トモグラフィーに広く適用できる。

関数が未知の密度を表す場合、ラドン変換は断層撮影スキャンの出力として取得された投影データを表します。したがって、ラドン変換の逆変換を使用して、投影データから元の密度を再構築できます。これは、反復再構成とも呼ばれる断層撮影再構成の数学的基礎を形成します。 ${\displaystyle f}$

ラドン変換データは、中心から外れた点光源のラドン変換が正弦波であるため、しばしばサイノグラムと呼ばれます。その結果、多数の小さな物体のラドン変換は、振幅と位相が異なる多数のぼやけた正弦波としてグラフィカルに表示されます。

ラドン変換は、コンピュータ断層撮影(CAT スキャン)、バーコードスキャナー、ウイルスやタンパク質複合体などの高分子集合体の電子顕微鏡検査、反射地震学、および双曲型偏微分方程式の解法に役立ちます。

を3つの正則条件を満たす関数とする: ^[3]${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$連続している。
2. 平面全体に渡る二重積分は収束する。${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$
3. 平面上の任意の点に対して、${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0 。}$

ラドン変換 は、直線空間上で各直線に沿った 線積分によって定義される関数です。具体的には、弧の長さに関する任意の直線のパラメータ化は、常に次のように記述できます。ここで、 は原点から までの距離、 は への法線ベクトルが -軸となす角度です。したがって、これらの量は内のすべての直線の空間上の座標と見なすことができ、ラドン変換はこれらの座標で次のように表すことができます。より一般的には、- 次元ユークリッド空間において、正則性条件を満たす関数のラドン変換は内のすべての超平面の空間上の関数です。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle Rf}$${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\alpha,s)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Rf}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n }}$$ここで、積分は自然な超曲面 測度に関して行われます（次元の場合の項を一般化）。 の任意の要素は、方程式 の解の軌跡として特徴付けられることに注目してください。ここで、 は単位ベクトルで です。したがって、次元ラドン変換は、次のように 上の関数として書き直すことができます。の 次元アフィン部分空間上で代わりに積分することにより、ラドン変換をさらに一般化することもできます。X 線変換は、この構成の最も広く使用されている特殊なケースであり、直線上で積分することで得られます。 ${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$$${\displaystyle Rf(\alpha,s)=\int_{\mathbf{x}\cdot\alpha=s}f(\mathbf{x})\,d\sigma(\mathbf{x}).}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ラドン変換はフーリエ変換と密接な関係があります。ここでは一変量フーリエ変換を次のように定義します。-ベクトルの関数に対して、一変量フーリエ変換は次のようになります。便宜上、 と表記します。フーリエスライス定理は次のように述べます。ここで$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

したがって、傾斜角の直線に沿った初期関数の 2 次元フーリエ変換は、その関数のラドン変換 (角度 で取得) の 1 変数フーリエ変換です。この事実は、ラドン変換とその逆変換の両方を計算するために使用できます。結果はn次元に一般化できます。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

双対ラドン変換は、ラドン変換の一種の随伴関数です。空間 上の関数gから始めて、双対ラドン変換は次のように定義されるR ⁿ上の関数です。ここでの積分は、点 に接するすべての超平面の集合に対して取られ、測度は、点 の周りの回転に対して不変な集合 上の唯一の確率測度です。 ${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

具体的には、2次元ラドン変換の場合、デュアル変換は次のように表されます。画像処理の文脈では、デュアル変換は平面内の各線で定義された関数を取り、それを線上に「スミア」または投影して画像を生成するため、一般に バックプロジェクション^{[4]と呼ばれます。}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$

によって定義されるラプラシアンをと表すとします。これは自然な回転不変の 2 階微分演算子です。 では、「ラジアル」2 階微分も回転不変です。ラドン変換とその双対は、次の意味でこれら 2 つの微分演算子の絡み合い演算子です。 ^[5]複数の空間次元における波動方程式の解を解析する場合、絡み合い特性により、Lax と Philips の並進表現が得られます。^[6]イメージング^[7]と数値解析^[8]では、次元分割法として、多次元の問題を 1 次元の問題に縮小するためにこれが使用されます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}$$

再構成のプロセスでは、投影データから画像 (または前のセクションの関数) が生成されます。再構成は逆問題です。 ${\displaystyle f}$

2次元の場合、ラドン変換から回復するために最も一般的に使用される解析式は、フィルタ逆投影式またはラドン反転式^[9]です。ここで、はとなる式です。^[9]畳み込みカーネルは、一部の文献ではランプフィルタと呼ばれています。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }$$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$${\displaystyle h}$

直感的に、フィルタ逆投影式では、 の微分との類推により、フィルタが導関数に似た操作を実行することがわかります。大まかに言えば、フィルタはオブジェクトをより特異にします。ラドン逆変換の不適切性の定量的な記述は次のようになります。ここで、 は、ラドン変換の以前に定義された随伴関数です。したがって、 については、次が成り立ちます。したがって、 複素指数関数は、固有値 を持つの固有関数です。したがって、 の特異値はです。これらの特異値は になる傾向があるため、は無制限です。^[9]${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

フィルタ逆投影法と比較すると、反復再構成は計算時間が長く、実用上は制限されます。しかし、ラドン逆変換の不適切性のため、フィルタ逆投影法は不連続性やノイズがある場合には実行不可能な場合があります。反復再構成法（例えば 、反復スパース漸近最小分散法^[10]）は、再構成結果の金属アーチファクトの低減、ノイズおよび線量の低減を実現できるため、世界中で多くの研究の関心を集めています。

ラドン変換とその双対に対する明示的かつ計算効率の良い逆変換式が利用可能です。次元のラドン変換は、次式で逆変換できます。 ^[11]ここで、ラプラシアンのべき乗は、必要に応じてフーリエ変換によって擬似微分演算子として定義されます。計算上、ラプラシアンのべき乗は双対変換と交換され、次式が得られます。^[12]ここで は、 s変数に関するヒルベルト変換です。 2 次元では、演算子は画像処理でランプ フィルターとして表示されます。^[13]フーリエ スライス定理と積分のための変数変換から、2 変数のコンパクトにサポートされた連続関数に対して次式が直接証明できます。したがって、画像処理のコンテキストでは、ランプ フィルター (変数) を適用してから逆投影することで、 「サイノグラム」データから元の画像を復元できます。フィルタリング手順は効率的に実行でき（たとえば、デジタル信号処理技術を使用）、逆投影手順は画像のピクセル内の値の単なる累積であるため、非常に効率的で、広く使用されているアルゴリズムになります。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$${\displaystyle R^{*}}$ $${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle Rf}$${\displaystyle s}$

後者の方法によって得られる逆変換式は明示的には次式となる: ^[4] 双対変換も同様の式で逆変換できる:$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

代数幾何学では、ラドン変換（ブリリンスキー・ラドン変換とも呼ばれる）は次のように構築されます。

書く

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

普遍超平面の場合、すなわち、H は( x , h )のペアで構成されます。ここで、 xはd次元射影空間 内の点であり、h は双対射影空間内の点です（言い換えると、x は( d +1) 次元アフィン空間内の原点を通る直線であり、hはその空間内の超平面です）。つまり、x はhに含まれます。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

すると、ブリリンスキー・ラドン変換は、エタール層の適切な導来圏間の関手となる。

${\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

この変換に関する主な定理は、この変換によって、定数層までの射影空間とその双対射影空間上の倒錯層のカテゴリの同値性が誘導されるというものである。 ^[14]

• ピリオドグラム
• マッチしたフィルタ
• デコンボリューション
• X線変換
• ファンクトランスフォーム
• ハフ変換は連続形式で記述するとラドン変換と同等ではないにしても非常に似ている。^[15]
• コーシー・クロフトンの定理は、空間内の曲線の長さを計算するための密接に関連した公式です。
• 高速フーリエ変換

• ロケナス・デブナス。ダンバル・バッタ（2016年4月19日）。積分変換とその応用。 CRCプレス。ISBN 978-1-4200-1091-6。
• ディーン、スタンレー R. (1983)、「ラドン変換とその応用」、ニューヨーク：ジョン ワイリー アンド サンズ
• ヘルガソン、シグルドゥル (2008)、「対称空間の幾何学的解析」、数学調査とモノグラフ、第39巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/surv/039、ISBN 978-0-8218-4530-1、MR  2463854
• ハーマン、ガボール T. (2009)、「コンピュータ断層撮影の基礎：投影からの画像再構成（第 2 版）」、Springer、ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, RA (2001) [1994]、「ラドン変換」、数学百科事典、EMS Press
• ナッテラー、フランク（2001年6月）、コンピュータ断層撮影の数学、応用数学の古典、第32巻、産業応用数学協会、ISBN 0-89871-493-1
• ナッテラー、フランク; ヴュッベリング、フランク (2001)、「画像再構成における数学的手法」、産業応用数学協会、ISBN 0-89871-472-9

• Weisstein、Eric W.「ラドン変換」。MathWorld。
• 解析投影 (ラドン変換) (ビデオ)。「コンピューター断層撮影と ASTRA ツールボックス」コースの一部。アントワープ大学。2015 年 9 月 10 日。