フェルミ・ディラック統計

フェルミ・ディラック分布による状態ごとの粒子分布から、エネルギーごとの粒子分布を求めることができる。^{[注3 ]}エネルギーを持つフェルミオンの平均数${\displaystyle \varepsilon _{i}}$フェルミ・ディラック分布を乗じることで見つけることができる${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$退廃によって${\displaystyle g_{i}}$（つまり、エネルギーを持つ状態の数）${\displaystyle \varepsilon _{i}}$)、^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$$

いつ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$可能性としては${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$同じエネルギーを持つフェルミオンが占めることができる状態は複数存在するため${\displaystyle \varepsilon _{i}}$。

エネルギーの準連続体の場合${\displaystyle \varepsilon }$関連する状態密度を持つ${\displaystyle g(\varepsilon )}$（すなわち、単位体積あたりの単位エネルギー範囲あたりの状態数^{[ 20 ]}）単位体積あたりの単位エネルギー範囲あたりのフェルミオンの平均数は

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$$

どこ${\displaystyle F(\varepsilon )}$これはフェルミ関数と呼ばれ、フェルミ・ディラック分布に使用される関数と同じです。${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$: ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$$

となることによって

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

フェルミ・ディラック分布は、相互作用しないフェルミオンの量子系にのみ適用され、大正準集団から容易に導出できる。^{[ 24 ]}この集団では、システムはリザーバー（温度Tと化学ポテンシャルμはリザーバーによって固定されている）とエネルギーを交換し、粒子を交換することができる。

相互作用しない性質のため、利用可能な各単粒子準位（エネルギー準位εを持つ）は、リザーバーと接触する独立した熱力学的システムを形成します。言い換えれば、各単粒子準位は独立した小さな大正準集団です。パウリの排他原理により、単粒子準位には、粒子なし（エネルギーE = 0）または粒子1個（エネルギーE = ε）の2つの微視的状態しか存在しません。したがって、その単粒子準位の 分配関数は、次の2つの項のみを持ちます。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$$ そして、その単一粒子レベルのサブステートの平均粒子数は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$$ この結果は各単粒子レベルに適用され、したがってシステムの全状態に対するフェルミ・ディラック分布を与える。^{[ 24 ]}

粒子数の変動（熱ゆらぎによるもの）も導出できる（粒子数は単純なベルヌーイ分布に従う）。 $${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$$

この量は、電子ガスの電気伝導率や熱電係数に関するモット関係などの輸送現象において重要であり、^{[ 25 ]}エネルギー準位が輸送現象に寄与する能力は、${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$。

正準集団におけるフェルミ・ディラック統計を導出することも可能である。相互作用が無視できるN個の同一フェルミオンからなる多粒子系を考え、熱平衡状態にあるとする。 ^{[ 15 ]}フェルミオン間の相互作用が無視できるため、エネルギーは${\displaystyle E_{R}}$州の${\displaystyle R}$多粒子系のエネルギーは、単粒子エネルギーの和として表すことができる。

$${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r},}$$

どこ${\displaystyle n_{r}}$は占有数と呼ばれ、単粒子状態にある粒子の数である。${\displaystyle r}$エネルギーを持って${\displaystyle \varepsilon _{r}}$総和は、考えられるすべての単粒子状態について行われます。${\displaystyle r}$。

多粒子系がその状態にある確率${\displaystyle R}$正規化された正準分布によって与えられる：^{[ 26 ]}

$${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}},}$$

どこ${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$、${\displaystyle e^{-\beta E_{R}}}$これはボルツマン因子と呼ばれ、総和はすべての可能な状態について行われます。${\displaystyle R'}$多粒子系の占有数の平均値。${\displaystyle n_{i}}$[ ^{26 ]​}

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\sum _{R}n_{i}P_{R}.}$$

状態に注意${\displaystyle R}$多粒子系の粒子占有率は、単粒子状態の粒子占有率によって指定できます。つまり、${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,}$となることによって

$${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta (n_{1}'\varepsilon _{1}+n_{2}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$$

そして、${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$になる

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}P_{n_{1},n_{2},\dots }\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}},\end{aligned}}}$$

ここで、総和は、値のすべての組み合わせについて行われます。${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$パウリの排他原理に従うもの、そして${\displaystyle n_{r}=0}$= 0 または${\displaystyle 1}$各${\displaystyle r}$さらに、各値の組み合わせは${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$粒子の総数が${\displaystyle N}$:

$${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$$

総和を並べ替えると、

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$$

上付きインデックス${\displaystyle (i)}$総和記号は、総和がまだ${\displaystyle n_{i}}$また、総和に関連する粒子の総数は、という制約を受ける。${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$。 ご了承ください${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$依然として${\displaystyle n_{i}}$を通じて${\displaystyle N_{i}}$制約、なぜならあるケースでは${\displaystyle n_{i}=0}$そして${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$で評価されます${\displaystyle N_{i}=N,}$一方、もう一方のケースでは${\displaystyle n_{i}=1,}$そして${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$で評価されます${\displaystyle N_{i}=N-1.}$表記を簡略化し、明確に示すために${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$依然として${\displaystyle n_{i}}$を通して${\displaystyle N-n_{i},}$定義する

$${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )},}$$

そのため、前の式は${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$書き換えて評価することができる${\displaystyle Z_{i}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}}\\&={\frac {0+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}}\\&={\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\,e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}.\end{aligned}}}$$

以下の近似式^{[ 27 ]}を用いて、を代入する式を求める。${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i},\end{aligned}}}$$ どこ$\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}.}$

粒子の数${\displaystyle N}$化学ポテンシャルの変化が十分に大きい${\displaystyle \mu }$粒子がシステムに追加されると非常に小さくなり、${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\text{B}}T.}$^{[ 28 ]}指数関数を両辺に適用し、$\displaystyle \alpha _{i}}$そして再配置、

$${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\text{B}}T}.}$$

上記を式に代入すると${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$そして以前の定義を用いると${\displaystyle \beta }$代替する$1/k_BT$のために${\displaystyle \beta }$フェルミ・ディラック分布の結果は以下の通りである。

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

マクスウェル・ボルツマン分布やボーズ・アインシュタイン分布と同様に、フェルミ・ディラック分布も平均値のダーウィン・ファウラー法によって導出することができる。 ^{[ 29 ]}

システムの多重度を直接解析し、ラグランジュ乗数法を用いることで結果が得られる。^{[ 30 ]}

インデックスiでラベル付けされた複数のエネルギー準位があり、各準位はエネルギー ε _iを持ち、合計n _i個の粒子を含んでいるとします。各準位にはg _{i 個の}異なる副準位があり、それらはすべて同じエネルギーを持ち、区別可能であるとします。たとえば、2 つの粒子は異なる運動量（つまり、運動量が異なる方向）を持つ可能性があり、その場合、それらは互いに区別できますが、それでも同じエネルギーを持つことができます。準位iに関連付けられたg _iの値は、そのエネルギー準位の「縮退度」と呼ばれます。パウリの排他原理は、そのような副準位には 1 つのフェルミオンしか存在できないと述べています。

エネルギー準位のg _i個の副準位にn _i個の区別できない粒子を分配する方法の数（各副準位に最大で 1 つの粒子）は、組み合わせ論的解釈を用いて、二項係数によって与えられる。 $${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

例えば、2 つの粒子を 3 つのサブレベルに分配すると、人口数は 110、101、または 011 となり、合計 3 通りの方法があり、これは 3!/(2!1!) に等しくなります。

占有数n _iの集合が実現される方法の数は、各エネルギー準位が占有される方法の積である。

$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

マクスウェル・ボルツマン統計を導出する際に用いたのと同じ手順に従い、粒子数とエネルギーが固定されているという制約の下で、Wが最大となるn _iの集合を求めたい。我々は、関数を構成するラグランジュ乗数を用いて解に制約を与える。

$${\displaystyle f(n_{i})=\ln W+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$$

階乗に対するスターリングの近似式を用い、 n _iに関して微分し、その結果をゼロに設定してn _iについて解くと、フェルミ・ディラックの個体数が得られる。

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$$

マクスウェル・ボルツマン統計に関する記事で概説したのと同様のプロセスにより、熱力学的に次のことが示される。${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\text{B}}T}}}$そして${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$最終的に、ある状態が占有される確率は

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$